Diophantische Vergelijkingen, Najaar 2000
Het college vindt plaats op donderdag van 11:00 tot 12:45
in zaal 611A van het MI
Het studiemateriaal bestaat uit diverse handouts, hoofdstukken uit
boeken en artikelen die nader worden aangegeven.
De gereedschapskist voor de getaltheoreticus is PARI, op te starten
met het commando "gp". Om met PARI te oefenen is hier een
oefensessie die ik iedereen kan aanbevelen.
Programma:
- 7 september: Roosters. Literatuur,
handout
- 14 september: valt uit i.v.m. promotie
- 21 september: Inleiding algebraische getaltheorie
Literatuur, Algebraische getaltheorie, crash course
- 28 september: Inleiding algebraische getaltheorie (vervolg)
- 5 oktober: Slot algebraisch getaltheorie, Mordellvergelijking.
Inleverdatum opgaven: 1.11, 1.12, 1.13 uit de roostertheorie
en bepaling ring van gehelen in Q(d^{1/4}).
- 12 oktober:Mordell vergelijking, invarianten
Literatuur, Mordell equation
- 19 oktober:Skolem's methode en Thue's vergelijking
Literatuur, Thue's equation (expanded
version, 31 October)
- 26 oktober: Collegevrije week
- 2 november: Stelling van Thue
- 9 november: Gehele en rationale punten op
algebraische krommen
Inleverdatum opgaven:
- Bewijs Propositie 3.2.2 uit de aantekeningen
- Laat zien dat de oplossing van y^2-9=x^3 teruggevoerd
kan worden tot een eindig aantal vergelijkingen van
de vorm c=ax^3-by^3 met abc=6. Laat zien dat deze
vergelijkingen weer teruggevoerd kunnen worden tot
Thue-vergelijkingen van de vorm f(x,y)=1, waarin f
een cubische vorm met gehele coefficienten is.
Los deze vergelijkingen op door de PARI-commandos
thueinit en thue.
- Los de vergelijking y^2-1=x^3 op door deze terug
te voeren tot een Thue vergelijking. Los deze Thue
vergelijking op met Skolem's methode en gebruik van
PARI (hier dus geen thue en thueinit gebruiken).
- 16 november
- 23 november
- 30 november
- 7 december
- 14 december
- Eindopdracht (deadline 15 januari 2001)
Zoek in de literatuur een artikel dat een
diophantische vergelijking behandelt en maak daar een kort verslag
van. In dat verslag moet duidelijk worden wat de (korte) historie van
het onderwerp is, wat de resultaten van de auteur zijn, de gebruikte
methoden en eventuele open vragen. Lengte: 2 tot 3 A4-tjes.
Om artikelen te zoeken kun je het volgende doen:
- Ga naar
MathSciNet en zoek daar naar reviews van artikelen
over diophantische vergelijkingen. De belangrijkste
rubrieken waarop je kunt zoeken zijn MSC primary nummers
11D25 en 11D41 (in mindere mate 11D57, 11D61).
- Zoek in de bibliotheek (naslagwerken) de Reviews in Number
Theory, rubriek Diophantine Equations.
Als je een artikel gevonden hebt waarvan je uit het review kunt
opmaken dat het wat voor je is, zoek het dan op in de bibliotheek.
Alvorens te beginnen met het bestuderen ervan, wil ik graag dat
je eerst even bij mij langskomt om het voor te leggen.
- Oplossingen van de eerste opgavenset(met dank aan Johan Bosman).