Elementaire Getaltheorie, najaar 2003
Het college vindt plaats op maandag van 15:15 tot 17:00
in zaal K11. Voor eventuele vragen die rijzen bij de
bestudering van de stof of uitwerking opgaven ben je
welkom op het spreekuur dat ik houd op maandagen
van 13:00 tot 15:00 (dus voorafgaand aan het college).
Het studiemateriaal bestaat uit het diktaat
Elementary Number Theory.
De opgaven vind je in de laatste paragraaf van het diktaat.
Elke week worden de
uitwerkingen van de opgaven van de week daarvoor
bijgewerkt.
De gereedschapskist voor de getaltheoreticus is PARI, op te starten
met het commando "gp". Om met PARI te oefenen en om enig inzicht in
eenvoudige priemtesten te krijgen is hier een
oefensessie die ik iedereen kan aanbevelen.
Programma: (wordt wekelijks bijgewerkt)
- 8 september
College: Hoofdstuk 2
Opgaven: 2,3,6,8,10c)d),12
- 15 september
College: Hoofdstuk 3
Opgaven: 13, 14a, 16, 18, 22, 23
- 22 september
College: Hoofdstuk 3 afmaken, Hoofdstuk 4
Opgaven: 24, 26, 27, 29, 31, 32
- 29 september
College: Hoofdstuk 4
Opgaven: 35, 36, 37, 38, 43, 44, 52
- 6 oktober
College: Hoofdstuk 4 afmaken
Opgaven: 53, 56, 58 (hint: gebruik opgave 37), 59 (sorry, this
can only be solved by methods from chapter 6), 60
- 13 oktober
College: Hoofdstuk 5, primaliteit en ontbinding
Opgaven: 57, 64, 65
- 20 oktober
College: Hoofdstuk 5, Ontbinding en cryptografie
- 27 oktober
College: Hoofdstuk 6, Kwadratische resten
Opgaven: 66, 67, 72, 73
-
Extra opgave plus uitwerking,
goed voor maximaal 1 tentamenpunt, uiterste inleverdatum:
vrijdag 7 november 2003.
Hier vind je de Mathematica Notebook
die op het college gebruikt is.
- 17 november
College: Hoofdstuk 6, Kwadratische resten
Opgaven: 69, 74, 75, 78(lastig)
- 24 november
College: Lucas-Lehmer test, sommen van kwadraten
Opgaven: 39, 40, 79a), 80
- 1 december
College: Hoofdstuk 8, Sommen van kwadraten en Waring's probleem
Opgaven: 100,101,102
- 8 december
College: Hoofdstuk 10, Diophantische vergelijkingen
Opgaven: 88, 89, 90, 96 (hint: breng de 1 naar links en ontbindt),
91 (hint: ontbindt linkerzijde in Z[i])
- 15 december
GEEN COLLEGE
Extra opgave 2, goed voor 1 tentamenpunt (deadline 12 januari 2004):
- Bewijs dat elk priemgetal p, dat 1 modulo 3 is, geschreven
kan worden in de vorm x^2+3y^2. Volg hiervoor het bewijs op blz
57/58 van Lagrange's stelling 8.2.1 en gebruik in plaats van
Euler's identiteit, de identiteit
(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac+3bd)^2+3(ad-bc)^2.
- Opgave 98 uit het diktaat (hint: kijk naar Consequence 3
van het abc-vermoeden op blz 79, je zult dus eerst paragraaf 10.5
moeten lezen en begrijpen. Dit wordt op het college van 5 januari
behandeld).
Dan voor de nieuwsgierigen, en dit hoort niet tot de extra opgave,
kun je priemgetallen van de vorm x^2+5y^2 karakteriseren?
En x^2+7y^2? (Experimenteer eerst een beetje, resultaten bewijzen
valt niet mee).
- 5 januari 2004
College: Hoofdstuk 10.5, ABC-vermoeden
Opgaven: 94, 97, Het (gemodifieerde)
Hall-vermoeden luidt: Bij elk getal a<1/2 is
er een c(a)>0 zo dat voor elk tweetal natuurlijke getallen x,y
geldt: ofwel x^3=y^2, ofwel | x^3-y^2 | > c(a) x^a. Bewijs dat dit vermoeden
een consequentie is van het abc-vermoeden.
- 12 januari 2004
College: Hoofdstuk 11, Priemgetallen
Opgaven: 54, 104, 106, 107, 109
Het tentamen is een open boek tentamen, dat wil zeggen,
je kunt het diktaat meenemen voor eventuele raadpleging. Het zal
duidelijk zijn dat dit alleen zin heeft als je al goed op de hoogte
bent van de inhoud van het dictaat.