Elementaire Getaltheorie, najaar 2005

Het college vindt plaats op donderdag van 13:15 tot 15:00 in zaal 611. Er zal ook een werkcollege gepland worden.
Het studiemateriaal bestaat uit het boek F.Beukers, Getaltheorie voor Beginners (Epsilson-uitgaven Utrecht) aangevuld met handouts. Bij het werkcollege hoort een opgavenset en van enkele geselecteerde opgaven vind je hier de uitwerkingen.

Voor echte fanatici vond ik hier een collectie met zeer lastige problemen (hoort niet tot de tentamenstof, de docent kan ze ook niet allemaal...).

De gereedschapskist voor de getaltheoreticus is PARI, op te starten met het commando "gp". Om met PARI te oefenen en om enig inzicht in eenvoudige priemtesten te krijgen is hier een oefensessie die ik iedereen kan aanbevelen. Maar ook met Mathematica kun je heel veel aan getaltheorie doen...

Programma: (wordt wekelijks bijgewerkt)

15 september
College: Hoofdstuk 2,3: De regels van het spel, priemontbinding en ggd's
22 september
College: Hoofdstuk 3,4: Hoofdstelling van de rekenkunde, priemgetallen, perfecte getallen, delersommen.
Werkcollege: Opgave 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10
29 september
College: Hoofdstuk 5,6: Mersenne- en Fermatgetallen, inleiding.
Werkcollege: Opgave 12, 14, 15, 16, 18
6 Oktober
College: Hoofdstuk 6,7: Congruenties.
Werkcollege: Opgave 25, 27, 28, 29
De eerste set inleveropgaven. Inleverdeadline: vrijdag 21 oktober 17 uur.
13 Oktober
College: Hoofdstuk 7: Euler phi, ordes, primitieve wortels
Werkcollege: 30, 31, 33, 38
20 Oktober
College: Hoofdstuk 7,8, Afmaken congruenties, priemtesten.
Hier vind je de Mathematica-demo die vandaag gebruikt is.
Werkcollege: 39, 41, 44, 49, 51
27 Oktober
College: Hoofdstuk 11, Kwadraatresten
Werkcollege vervalt
3 November
College: Kwadraatresten afmaken
Werkcollege: 52,55( Correctie: p moet deler zijn van n^(q-1)+n^(q-2)+...+n+1 en verschillend van q), 56,57,59,65,66.
De tweede set inleveropgaven. Inleverdeadline: vrijdag 18 november 17 uur.
10 November
Geen college
17 November
Wegens ziekte docent uitgevallen
24 November
College: Hoofdstuk 12, Sommen van kwadraten
Werkcollege: 67, 68, 69, 70, 72
1 December
College: Hoofdstuk 12, sommen van kwadraten, probleem van Waring
Werkcollege: 73, 74, 79, 81
8 December
College: Hoofdstuk 13, De vergelijking van Fermat.
Werkcollege: 93( je kunt de hint volgen, maar het kan ook door het bewijs van Stelling 12.1.1 te modificeren, of dat van Stelling 12.2.1), 101,102,103.
15 December
College: Diophantische vergelijkingen, Hoofdstuk 16
Werkcollege: 89, 90, 91, 97, 95 De derde set inleveropgaven. Inleverdeadline: vrijdag 13 januari 17 uur.
22 December
College: Diophantische vergelijkingen afmaken, Hoofdstuk 16, abc-vermoeden beginnen Hoofdstuk 17
Werkcollege: vervalt
5 Januari 2006
Geen college
12 Januari 2006
College: abc-vermoeden (Hoofdstuk 17), begin priemgetallen
Werkcollege:
- Let p,q be positive integers at least 2. Let c be a non-zero integer. Show that the abc-conjecture implies that x^p-y^q=c has at most finitely many solutions. Start with the assumption that gcd(x,y)=1. Then do the general case.
- Same equation as above, but now with p,q >=2 as unknowns. Show that the number of possible pairs x^p, y^q with difference c is still finite.
- The Hall-conjecture conjectures that for any d<1/2 the inequality 0<|x^3-y^2|< x^d has at most finitely many solutions. Show that the truth of the abc-conjecture implies the truth of Hall's conjecture. Again start with the case gcd(x,y)=1.
- Problem 99
19 Januari 2006
College: Priemgetallen, Hoofdstuk 19
Werkcollege: 105, 106, 107, 108.
26 Januari 2006
College: Irrationaliteit, Hoofdstuk 18
Werkcollege: 116, 117, 118.

Beoordeling van de student zal voor 20 procent bestaan uit de beoordeling van inleveropgaven (in totaal 3 sets) en voor 80 procent uit het tentamen.

Het tentamen vindt plaats op 2 februari 2006, 14-17 uur in zaal C en D van het Ruppertgebouw (TransI).
Tentamenstof: Hoofdstuk 3, 4.1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 16, 17, 19 (dus niet Hoofdstuk 18, Irrationaliteit). Ook wordt je geacht in staat te zijn de opgaven van het werkcollege te kunnen maken (zie het programma hierboven, inclusief de extra opgaven dd 12januari).

Let op, als je nog andere opgaven uit de opgavenverzameling maakt: er komt een aantal opgaven voor, waarvan de achtergrond niet aan bod is gekomen tijdens het college: 19 t/m 24, 35, 61 t/m 64, 82 t/m 87, 116 t/m einde. Die kun je overslaan.

Het tentamen is een open boek tentamen, dat wil zeggen, je kunt het boek meenemen voor eventuele raadpleging. Het zal duidelijk zijn dat dit alleen zin heeft als je al goed op de hoogte bent van de inhoud van het boek. Ander materiaal zoals schriften, aantekeningen ,etc zijn niet toegestaan. Gebruik van een eenvoudige calculator is toegestaan, Grafische Rekenmachine niet.

Hier is het TENTAMEN. Voor diegenen die aan de HERKANSING willen meedoen zijn hier de uitwerkingen.