Vakbeschrijving: Het eerste deel van dit college bestaat uit de theorie van de ringen. Voorbeelden van ringen zijn de gehele getallen en de veeltermen. Maar er zijn nog vele anderen. Het ringbegrip omvat alle gemeenschappelijke eigenschappen van systemen waarop we een optelling en vermenigvuldiging hebben. De volgende begrippen komen ter sprake: ringhomomorfismen, idealen, polynomen, priemidealen, maximale idealen, en veel voorbeelden.

Het tweede deel, Galoistheorie, komt voort uit klassieke problemen in de wiskunde. Bijvoorbeeld klassieke constructie problemen met passer en liniaal (trisectie van de hoek) en het probleem van de oplossing van hogere graadsvergelijkingen. Door studie van de achterliggende symmetrieëen (galoisgroepen) kunnen we vaak komen tot een oplossing van deze problemen. Belangrijk hierbij is de theorie van de lichamen (systemen met optelling, vermenigvuldiging en deling). De volgende begrippen komen ter sprake: lichaamsuitbreidingen, constructies, Galoiscorrespondentie, oplosbaarheid, eindige lichamen.

Doel: Je leert werken met abstracte begrippen als ring, ideaal, quotient en lichaamsuitbreiding, en ziet daarvan toepassingen op getaltheoretische, algebraische en meetkundige problemen.

Cursus materiaal: We volgen het boek van J.Rotman, Galois Theory, 2nd edition (Universitext, Springer). Deze is te koop via AEs-kwadraat. Een ander boek dat aanbevolen kan worden, maar niet verplicht is: D.J.H.Garling, A course in Galois Theory. Een goed boek, en goedkoop ook, maar bevat te weinig opdrachten.
Tenslotte vind je hier Aantekeningen Ringen en Galois (nieuwe versie dd 1 april 2012), college-aantekeningen die je kunt gebruiken als achtergrondmateriaal en waaruit wij ook veel opgaven zullen putten.
Tijdens deze cursus stelt Koen van Woerden, student-assistent, zijn aantekeningen beschikbaar in de vorm van hints bij de opgave. Je kunt ze volgen op De Hints van Koen.

Tijd en plaats: Begin van de cursus op 9 februari. Het hoorcollege vindt plaats op donderdagen van 11u tot 12u45 uur in Minnaert 208, de werkcolleges op dinsdagen vanaf 14 februari van 15u15 tot 17 uur in BBL 061, 071 (zie practicumindelingen). Voor verdere details zie het schema hieronder.

Beoordeling: Na elk blok wordt er een deeltentamen gehouden. Daarnaast wordt er elke week bij het werkcollege een korte quiz gehouden. De quizresultaten tellen voor 20% mee in het eindcijfer.

Wekelijks schema:

• Week 6
  Hoorcollege 9 februari: Introductie Ringen
  Boek: Rings, Domains and Fields; Diktaat: 1.1 en 1.2.
• Week 7
  Werkcollege 14 februari: Diktaat 1.4: 3, 5, 7, 8, 12, 14 (met n=2), 15, 21, 22.
  NB: In deze opgaven wordt van een ring niet vereist dat hij commutatief is, of dat hij een 1 heeft.
  Hoorcollege 16 februari: Introductie Ringen
  Boek: Domains and Fields; Diktaat 1.2 en 1.3 (m.u.v. 1.3.3 en 1.3.5).
• Week 8
  Werkcollege 21 februari: QUIZ, verder
  Boek p16: 12, 13, 16, 17, 18, Diktaat 1.4: 32, 33, 18(lastig, typo: opgave moet beginnen met de woorden 'Let m be a positive integer...').
  Hoorcollege 23 februari: Ringhomomorfismen en idealen.
  Boek: Homomorphisms and Ideals, Quotient Rings, Diktaat: Hoofdstuk 2.1 en 2.2.
  
• Week 9
  Werkcollege 28 februari: Boek: p20: 30, 31, 32, 33, 34 ; Diktaat 2.4: 1, 2, 3, 4, 5 (alleen voor de liefhebbers), 6, 8, 9.
  Hoorcollege 1 maart: Rekenen met idealen, Chinese reststelling en toepassingen, staat niet in boek, wel in diktaat, Hoofdstuk 2.3.
• Week 10
  Werkcollege 6 maart: QUIZ; Diktaat 2.4: 11, 13 (Ipv (c): Bewijs dat de verzameling eenheden gegeven is door a+b&epsilon met a ongelijk 0), 14, 15, 19 (Lees: (I+J).(I∩J)⊂(I,J)), 20 (Lees I₁+I₃=R en I₂+I₃=R <=> (I₁.I₂)+I₃=R), 22, 23.
  Hoorcollege 8 maart: Polynoomringen, hoofdideaalringen, irreducibele elementen. Diktaat: 3.1, Boek: Polynomial Rings over Fields.
• Week 11
  Geen college en werkcollege ivm hertentamenweek.
• Week 12
  Werkcollege 20 maart: Boek: p31: 44, 45, 48
  Extra 1) Bepaal de rest van deling van X⁵+3X³-5X+2 door X²-X+1 in de ring Q[X].
  Extra 2) Bepaal de rest van deling van 4X⁵+2X³-X door 2X²+X+2 in de ring Q[X], en vervolgens ook in de ring (Z/5Z)[X].
  Diktaat: 3.5: 3, 1 (Hint: noem de som aan de rechterzijde g en toon aan dat f en g in de n+1 punten &alpha_i dezelfde waarden aannemen. Pas vervolgens opgave 48 uit boek toe), 2, 5, 8 (Een nilpotent element r in een ring is een element waarbij een positief gehele k bestaat zo dat r^k=0.
  Hoorcollege 22 maart: Irreducibele elementen, uniek ontbindingsdomein, Lemma van Gauss, ontbinding in Z[X].
  Boek: Irreducible polynomials, Dictaat: paragraaf 3.2, 3.3, 4.1, 4.2, 4.3.
• Week 13
  Werkcollege 27 maart: QUIZ.
  Opgaven: 4.4: Boek p43: 64, 66, 67 , dictaat: 4.6.1 (skip (b)), 4.6.2 (skip (b)), 4.6.4 (skip de vraag "is 2 a prime element?"), 4.6.6, 4.6.11 (hint bij de vierde: het is een derde macht, deze hoeft niet modulo 5).
  Het blijkt dat Opgave 4.6.2 veel te kort door de bocht is, hier een betere versie met uitwerking.
  Hoorcollege 29 maart: Ontbinding in Z[X], criterium van Eisenstein. Maximale idealen en priemidealen. Dictaat: 4.4, 4.5, 5.1, 5.2, Boek: Theorem 40, Hoofdstuk "Prime ideals and maximal ideals" tot Theorem 30.
• Week 14
  Werkcollege 3 april: Het Eisenstein criterium geldt niet alleen in Z[X] en een priem p, maar ook in een ring R[X] met R ontbindingsdomein en een irreducibel element π (zie Def 4.5.1 en Stelling 4.5.2). Dit kun je toepassen op Q[X,Y], gezien als polynoomring in Y en coefficienten in Q[X].
  Diktaat: 4.6.7, 4.6.8, 4.6.9, 4.6.13, 4.6.15, 5.5.1, 5.5.3, 5.5.4, 5.5.5, 5.5.8 (subtiele opgave, bedoeld wordt: example 3.2.9, daarin is X² irreducibel, maar (X²) geen priemideaal. Ook is X² is geen deler van X³ in R (waarom?)), Boek: opgave 53, 54 (p40).
  Hoorcollege 5 april: Maximale idealen en priemidealen afmaken. (TOT HIER GAAT DE STOF VOOR DEELTENTAMEN I, Opgaven van 10 april horen erbij)
  Lichaamsuitbreidingen, Diktaat: 6.1, 6.2, Boek: Splitting Fields tot p53.
• Week 15
  Werkcollege 10 april: QUIZ, Opgaven dictaat 5.5.9, 5.5.10, 5.5.14, 5.5.15, 5.5.16, 5.5.25, 5.5.27
  Hoorcollege 12 april: Lichaamsuitbreidingen (dictaat 6.2, 6.3), Constructies met passer en liniaal (Appendix C van het boek). Een webpagina met Gauss' constructie van de regelmatige 17-hoek.
• Week 16
  Deeltentamenweek. Het DEELTENTAMEN I vindt plaats op donderdag 19 april van 9-12 uur in Educatorium Alfa. Gebruik van hulpmiddelen zoals diktaten, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Een paar oude tentamens,
  • 30 juni 2008 (met uitwerking vanaf pagina 2) uit de tijd dat het tentamen nog in zijn geheel werd afgenomen. Voor het deeltentamen zijn opgaven 1a)b)c) en 2) relevant.
  • hertentamen 22 aug 2008. Opgaven 1a)b)c)d) en 2) zijn nu relevant.
  • Deeltentamen 16 april 2009 plus uitwerking.
  • Deeltentamen 22 april 2010 Opgaven A,B,D.
  De laatste komt uit de tentamenbank van AEs-kwadraat, de recentere tentamens dd 24 juni en 26 aug 2010 in deze voorraad zijn niet relevant voor dit deeltentamen.
  TOEGEVOEGD op 22 april: Deeltentamen 19 april 2012 plus uitwerkingen vanaf blz 3.
• Week 17
  Werkcollege 24 april: Diktaat 6.6.4, 6.6.5, 6.6.6, 6.6.7, 6.6.10, 6.6.15, 6.6.18, 6.6.19
  Hoorcollege 26 april: Lichaamsuitbreidingen, Splijtlichamen. Diktaat 6.3, 6.4, 8.1, Boek; Splitting fields.
• Week 18
  Werkcollege 1 mei: QUIZ, Diktaat: 6.6.12, 6.6.16, 6.6.21, 6.6.22, 8.4.2, 6.6.25, 8.4.3
  Hoorcollege 3 mei: Galois groep, normale uitbreiding, separabele uitbreiding, berekening Galois groep. Diktaat 8.2, 8.3, boek: The Galois group.
• Week 19
  Werkcollege 8 mei: Opgave 2.4.5, 6.6.22, 8.4.1, 8.4.5, 8.4.6, 8.4.7
  Hoorcollege 10 mei: Karakterisatie Galoisuitbreiding, voorbeelden van Galoiscorrespondentie. Diktaat: 8.3, 9.2
• Week 20
  Werkcollege 15 mei: QUIZ, Opgaven: 9.5.1, 9.5.4, 9.5.6, 9.5.16, Extra opgaven: 1.3, 1.1, 1.2
  17 mei, hemelvaartsdag, GEEN college.
• Week 21
  EXTRA hoorcollege 22 mei: Hoofdstelling van de Galoistheorie, voorbeelden. Hoorcollege 24 mei: Oplossing 3e en 4e graadsvergelijking, oplosbare polynoomvergelijkingen.