WIS304 Bachelor Seminarium
Praktische informatie
Ook in het academiejaar 2011-2012 zal er bij voldoende interesse een bachelor-seminarium worden georganiseerd. Hieronder wordt uitgelegd wat een bachelor-seminarium is, en er worden drie voorstellen voor thema's gedaan. Heb je interesse, laat het dan weten. Geef zeker ook aan als je interesse hebt in meerdere of alle thema's, je hoeft niet slechts een thema te kiezen.
Wat is een bachelor-seminarium?
Doelpubliek: 2e/3e jaars bachelor-studenten wiskunde, beginnende master-studenten. Alle andere geinteresseerden welkom. Let op: er is een maximum aantal actieve deelnemers van 12.
ECTS: 7.5.
Wanneer?: Blok 1+2, Maandagen, 15.15-17.00
Taal: Nederlands (of Engels, na afspraak).
Werkwijze: De deelnemers geven zelf tenminste een voordracht. Daartoe is het noodzakelijk op voorhand het materiaal grondig te bestuderen. Er wordt een krijtbord-presentatie verwacht van 2 x 45 minuten. Eventueel kunnen eigen aantekeningen worden verspreid. Er wordt van de spreker verder verwacht dat hij/zij een huiswerkopgave stelt voor de verdere deelnemers, die bij de volgende voordracht dient te worden ingeleverd. De opgave moet worden goedgekeurd door de seminariumleiding, maar de spreker zelf kijkt de opgave na. Bij dispuut beslist de leiding. Het eindcijfer is het gewogen gemiddelde van het cijfer dat de seminariumleiding voor de voordracht geeft (40%) en het huiswerkcijfer (60%).
Vaardigheden: je bent voor een keertje zelf de docent! Je leert een goede seminariumvoordracht geven. Dat is niet zo makkelijk als het lijkt: de lezingen moeten erg goed worden voorbereid; o.a. omdat latere voordrachten kunnen afhangen van resultaten uit jouw presentatie. Kijk ook eens naar het advies van Manfred Lehn
3 voorstellen voor thema's voor het bachelor-seminarium 2011-2012
I. Delingsalgebras: quaternionen octonionen en topologie
Referentie: "Numbers" (Ebbinghaus et. al., Springer Verlag, ook in het Duits te verkrijgen als "Zahlen").
Het boekje in de referentie bevat veel informatie over alternatieven en veralgemeniseringen van de natuurlijke en reele getallen, zoals p-adische getallen, en niet-standaard-analyse. Voor het seminarium is het voorstel om te focussen op de theorie van reele delingsalgebra's en verbanden met topologie (deel B van het boek). Een (eindig-dimensionale) delingsalgebra over de reele getallen R is een eindig-dimensionale vectorruimte over R die een compatibel product heeft, waarvoor geen nuldelers bestaan. Voorbeelden zijn R zelf, de complexe getallen, de quaternionen (niet commutatief) en de octonionen (niet associatief), van dimensie 1, 2, 4 en 8. Het ultieme resultaat is dat er geen verdere delingsalgebras bestaan, maar daarvoor is het nodig om topologie te gebruiken!
Het eerste deel van het seminarium heeft weinig voorkennis nodig: het gaat om het invoeren van de klassieke quaternionen en hun verband met rotaties in R^3 - eventueel kan er extra literatuur komen over toepassingen in de computeranimatie en over meer algemene quaternionenalgebras in de getaltheorie. In het tweede deel gaat het dan om classificatie-resultaten voor meer algemene algebra's, met stellingen van Frobenius en Hopf. Dan worden octonionen van Cayley ingevoerd. In het derde deel wordt tenslotte het verband gelegd met (algebraische) topologie en de classificatie van vectorvelden op sferen.
De voorkennis is oplopend: voor het eerste deel, enkel lineaire algebra, soms wat groepentheorie; In het tweede deel: topologie en meetkunde I; om een van de laatste presentaties te houden is het goed iets te weten van algebraische topologie en differentieerbare varieteiten - het is wel de bedoeling dat de specifieke technieken die worden gebruikt begrijpelijk worden uitgelegd voor het hele publiek.
II. Analytische getaltheorie Referentie: "Introduction to analytic number theory" (Apostol, Springer Verlag)
Euler ontdekte dat je kunt bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn door te bewijzen dat sum 1/n^s divergeert bij s=1; dit was het begin van analytische getaltheorie. Andere resultaten: de priemgetalstelling (als P(x) het aantal priemgetallen kleiner dan x voorstelt, dan is de limiet van P(x)log(x)/x gelijk aan 1 als x naar oneindig gaat); hoeveel roosterpunten zijn zichtbaar vanaf de oorsprong?; de stelling van Dirichlet over het bestaan van oneindig veel priemgetallen in rekenkundige rijen; enz.
Voorkennis: functies en reeksen; latere voordrachten ook complexe functies en wat groepentheorie. Elementaire getaltheorie is zinvol maar niet noodzakelijk.
III. p-adische getallen
Referentie: "p-adic numbers" (Gouvea, Springer Verlag); "local fields" (Cassels, London Math Society)
De reele getallen krijg je door de rationale getallen te completeren in de gewone norm (=absolute waarde). Maar volgens een stelling van Ostrowski hebben de rationale getallen nog andere normen, die precies met de priemgetallen p corresponderen: een rationaal getal r schrijf je als c/d p^n met c en d niet deelbaar door p en n een geheel getal (mogelijk negatief), en dan is de p-norm van r gelijk aan 1/p^n. De completering in deze norm (=het toevoegen van alle limieten van Cauchy-rijen) levert de p-adische getallen op. Die zijn belangrijk voor getaltheorie, maar je kan er ook topologie, meetkunde en analyse mee doen. Plots zijn alle driehoeken gelijkbenig, convergeert 1+2+4+8+... (2-adisch) naar -1, enz. We laten ook toepassingen aan bod komen, zoals: irreducibiliteit van polynomen, oplosbaarheid van diophantische vergelijkingen, grenzen op de orde van een groep van matrices van rationale getallen en recurrente reeksen.
Voorkennis: lineare algebra, groepen; latere voordrachten ook topologie en meetkunde I, ringen en lichamen.
Details
| week | date | topic | Speaker |
| ... | ... | ... | ... |
References
M. Lehn, Hoe houd je een goede seminariumvoordracht?, Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/11, nr. 2 (juni 2010), pp.130-133[here in German]
...