WISB222
Ringen en Galoistheorie
Galois'
handschrift
Praktisch
Wat? WISB222
Wanneer? Het college vindt plaats in blok 3 en 4 van collegejaar 2006-2007.
- Hoorcollege op maandagen 13.15-15.00,
- Werkcollege op dinsdagen, 13.15-15.00 (maak eerst de opgaven met de sterretjes)
- Hoorcollege Minnaertgebouw MG 208
- Werkcollege ?
Tentamen is open-boek; dit betekent dat enkel niet geziene opgaves worden gesteld. Het is meer dan zinvol de resultaten en hun bewijzen werkelijk te bestuderen en kennen voor het tentamen. Op het tentamen is het te laat om nog iets te leren. Er is geen deeltentamen, in plaats daarvan zijn er (vrijwillige) tests op het werkcollege.
Eindcijfer Er is soms een Goed-Fout test van 10 vragen op het werkcollege; deelname is ten stelligste aanbevolen: de punten kunnen als bonus tellen als volgt:
als E = eindcijfer, T=tentamencijfer, t=testcijfer, n= gemaakt aantal tests/tot. aantal tests
dan E = max { T, (1-n/5)T+tn/5 }
Inhoud
Thema's
Ringtheorie: ringhomomorfismen, idealen, polynomen, priemidealen, maximale idealen, deling in ringen.
Galoistheorie: lichaamsuitbreidingen, constructies, normaal/separabel, Galoiscorrespondentie, oplosbaarheid, eindige lichamen.
Doel Je leert werken met abstracte begrippen als ring, ideaal, quotient en lichaamsuitbreiding, en ziet daarvan toepassingen op getaltheoretische en meetkundige problemen, bv. hoe de theorie van lichaamsuitbreidingen toelaat in te zien waarom er hoeken zijn die je met passer en lineaal niet kan driedelen. Dit alles culmineert in de Galoistheorie, waarbij groepentheorie wordt gebruikt voor de studie van oplossingen van polynoomvergelijkingen, i.h.b. om aan te tonen dat er vergelijkingen zijn van graad vijf waarvan de oplossingen niet door worteltrekken, sommen en producten uit de coefficienten kunnen worden verkregen.
Details
BLOK 3
| week | datum hoor | hoorcollege | datum werk | werkcollege |
| 6 | 5/2 | ringen: definities, voorbeelden, eigenschappen, eenheden, Pell-vergelijking, nuldelers | 6/2 | 1.4: 7*, 12*, 16*, 18, 20*, 21, 25*, 13*, 14 |
| 7 | 12/2 | constructies van ringen, ringhomomorfismen | 13/2 | 1.4: 28, 29*, 32, 34*+35*, 2.4: 1*, 2*, 7, 8, 13* |
| 8 | 19/2 | factorring, idealen | 20/2 | G/F-test 2.4: 15*, 16*, 22a*, 23, 24*, 25, 26*, 27*, 31, 33*+34*, 38 |
| 9 | 26/2 | rekenen met idealen, polynomen | 27/2 | doorgaan |
| 10 | 5/3 | evaluatiehom, polynoomdeling, polynoomringen over lichamen en domeinen, formeel afleiden, symmetrische polynomen | 6/3 | G/F-test 3.8: 2*, 4, 6*, 9*, 12*, 16, 21* |
| 11 | 12/3 | priemidealen en maximale idealen | 13/3 | 4.4: 1*, 3*, 4*, 5, 8*, 14, 24A*, 26 |
| 12 | 19/3 | geen college | 20/3 | geen college |
| 13 | 26/3 | irreducibele elementen, HID, UFD | 27/3 | 5.6: 1*, 2*, 4*, 7 |
| 14 | 2/4 | deelbaarheid, factoriseren van polynomen | 3/4 | 5.6 [+theorie uit 5.5]: G/F-test 8, 9, 10*, 11*, 18*, 19* |
| 15 | 9/4 | geen hoorcollege | 10/4 | zoveel mogelijk uit 5.6: 13, 14, 15 |
| 16 | 16/4 | deeltentamenweek [geen deeltentamen voor dit vak] | 17/4 | geen werkcollege |
BLOK 4
| week | datum hoor | hoorcollege | datum werk | werkcollege |
| 17 | 23/4 | karakteristiek van een ring, van een domein, lichaamsuitbreiding, algebraisch, transcendent, minimaalpolynoom, graad, eindige uitbreiding is algebraisch, torenformule | 24/4 | nog uit het dictaat "Ringen": 7.6: 4,7,8*,16,17*,18; uit "Galoistheorie": 2.1*, 2.3, 2.4* |
| 18 | 30/4 | geen college | 1/5 | verder met week 17; oefen ook irreducibiliteit met 7.2.a+b, 7.3.a, 7.4.a en 7.5.a |
| 19 | 7/5 | construeerbaarheid: wat is een constructie met passer en lineaal?, constructie van loodlijn, evenwijdige, overdragen van afstanden, het lichaam der construeerbare getallen, constructie van een vierkantswortel, graad van een construeerbaar getal, onmogelijkheid van de delische problemen | 8/5 | 3.1, 3.2*, 3.3 en 4.1*, 4.2, 4.3, 4.4*, 4.5*, 4.6* |
| 20 | 14/5 | bestaan van een lichaam waarin een polynoom een wortel heeft; lichaams-automorfismen; splijtlichaam: bestaan + uniciteit op isomorfisme na. Technisch lemma over lichaamsinbeddingen. | 15/5 | G/F-test; alle opgaves uit par. 5 + ondergroependiagram van A_4 en D_4 bepalen + beginnen met alle opgaves uit par. 7 |
| 21 | 21/5 | separabiliteit (kar. p>0 en kar. 0), wat zegt de hoofstelling van de Galoistheorie? De Galoistheorie van x^4-2 | 22/5 | alle opgaves uit par. 7 (vervolg) + alle opgaves uit par. 6 |
| 22 | 28/5 | geen college | 29/5 | geen college |
| 23 | 4/6 | bewijs van de hoofdstelling | 5/6 | 8.1, 8.2*, 8.3* |
| 24 | 11/6 | stelling van het primitieve element; oplosbare vergelijkingen en oplosbare groepen | 12/6 | G/F-test; 8.4*, 9.1*, 9.2, 9.3*, 9.4*, 9.5 |
| 25 | 18/6 | onoplosbare vergelijkingen; eindige lichamen | 19/6 | 9.6, 9.7 |
| 26 | 25/6 | geen hoorcollege | 26/6 | herhalingsvragen A |