Analyse in meer variabelen

Heinz Hanßmann, Yann Guggisberg, Marco Nervo

blok 4	tijd	plaats
hoorcollege	maandag 11:00 - 12:45	BBG 065
bonuscollege	dinsdag 17:15 - 19:00	BBG 023
hoorcollege	woensdag 11:00 - 12:45	BBG 209
werkcollege	maandag 9:00 - 10:45	HFG 611ab
werkcollege	woensdag 9:00 - 10:45	BBG 001

ECTS : 7.5 studiepunten

Vanaf juni zijn de zalen voor het hoorcollege met HFG 611AB op maandagen en BBG 023 op woensdagen constant. Tot die tijd zal ik proberen hier de wekelijkse veranderingen bij te houden: naast BBG 065 nog een keer op 13 mei en BBG 001 op 22 mei gaat het om BBG 079 op 6, 8, 15 en 29 mei (op 27 mei zitten we al in HFG 611AB).

Dit vak behandelt diverse aspecten van de anlyse in meerdere reële variabelen; de onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij het college Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Het vak is voorkennis voor de richtingen differentiaalmeetkunde, differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

Onderwerpen die aan de orde komen zijn

Totale afgeleide van vector-waardige functies van meerdere veranderlijken, ook hogere orde

Inverse en impliciete functiestelling

Deelvariëteit van Rⁿ en representatie m.b.v. immersies en submersies

Raakruimten aan deelvariëteiten

Integratie in Rⁿ

Stelling van Fubini, herhaalde integratie en verwisseling van integratievolgorde

Substitutiestelling

Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ

Stellingen van Gauß, Green en Stokes

Na afronding van de cursus kent de student de bovenstaande definities en de uitspraken en bewijsideeën van de bovenstaande stellingen. Verder is de student in staat om de definities en stellingen op voorbeelden toe te passen.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken: tijdens het werkcollege en met name ook thuis; voor het laatste (ook) de inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((I+2M)/3, M-1), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen.

Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

Bij het college wordt gebruik gemaakt van een dictaat in twee delen, verkrijgbaar bij de dictaatverkoop van A-Eskwadraat.

Het vak analyse staat centraal in elke wiskundeopleiding en er zijn talloze boeken verschenen, waaronder:

H.W. Broer

Meetkunde en Fysica

Epsilon Uitgaven 44 (1999)

J. Dieudonné

Foundations of Modern Analysis

Academic Press (1960)

J.J. Duistermaat & J.A.C. Kolk

Multidimensional real analysis, I Differentiation, II Integration

Cambridge Studies in Advanced Mathematics 86 & 87

Cambridge University Press (2004)

K.A. Kortram & A. van Rooi

Analyse, functies van meer veranderlijken

Epsilon Uitgaven 16 (1990)

T. Tao

Analysis II

Hindustan Book Agency (2014)

Rooster

Hier zal ik de behandelde onderwerpen bijhouden; achter nog te corrigeren data staat alvast wat aan de orde zal komen. Opgaves zonder `0.' ervoor zijn uit het diktaat, de anderen zijn uit het boek van Hans Duistermaat en Joop Kolk.

22.4. Werkcollegeopgaves 1, 0.17, 1.1, 1.14. Overzicht, stelling van Dini, afgeleide.

24.4. Werkcollegeopgaves 2, 2.2, 1.46, inleveropgaves 7, 2.6. Partieel differentieerbaar, kettingregel, middelwaardestelling.

29.4. Werkcollegeopgaves 2.8, 2.22, 2.26, 2.21. Gradiënt, tweede afgeleide, differentiatievolgorde.

1.5. Werkcollegeopgaves 2.25, 2.24, 14, inleveropgaves 2.18, 2.37. Extrema, hogere orde afgeleides, Taylorformule. Zelf lezen: Commuting limit operations (sectie 2.10 in het boek).

2.5. Werkcollegeopgaves 2.56, 2.62, 21, 2.47. Inverse afbeelding, GL(E) open in L(E) als E Banachruimte, contractiestelling.

2.5. Werkcollegeopgaves 3.4, 3.6, 3.24, inleveropgaves 3.13, 23. Impliciete functiestelling, toepassingen, constante rang stelling.

12.5. Reguliere waarde, Morse lemma, toepassingen.

16.5. Differentieerbare variëteiten

22.5. Raakruimte

28.5. Bonuscollege: raakbundel

13.6. Integreren

14.6. De stelling van Fubini

14.6. De Jordan-maat

16.6. Substituëren

16.6. De substitutiestelling

16.6. Bonuscollege: differentiaalvormen

23.6. Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ

27.6. Integraalstellingen: Gauß

28.6. Integraalstellingen: Green

30.6. Integraalstellingen: Stokes