| blok 2 | tijd | plaats | hoorcollege | woensdag 15:15 - 17:00
vrijdag 11:00 - 12:45 |
HFG 611
HFG 611 |
werkcollege | woensdag 13:15 - 15:00
vrijdag 9:00 - 10:45 |
HFG 611
HFG 611 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de eenvoudigste vragen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonalizeren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuïtie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week drie inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als een grotere groep per sé samen wil inleveren even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = min(max((I+M)/2, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaves kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
In het cursusboek (eerste plaats beneden, daarin ook de opgaves) is bovendien per hoofdstuk aangegeven waar de behandelde onderwerpen in (de andere) onderstaande boeken terug te vinden zijn.
16.11. Inleiding. Norm en Banachruimte, inproduct en Hilbertruimte. Topologie van metrische ruimten. Banachruimten en operatoren. Deel- en quotientruimte, (lineaire) operatoren.
18.11. Werkcollegeopgaves 1.20, 1.21, 2.9, 2.10, 3.1, 3.11, inleveropgaves 1.1, 1.18, A.19. Begrensde operatoren, topologische directe som, homomorfiestelling, duale ruimte, de stelling van Hahn-Banach. Voor een bewijs van de stelling van Hahn-Banach zie ook de extra voordracht (pdf, ps) van drie jaar geleden.
23.11. Werkcollegeopgaves 3.2, 3.9, 3.10, 3.16, 3.22, 3.29. Completering (volledig maken). Meetkunde van Hilbertruimten. Beste benadering binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten, orthogonale supplementen van gesloten deelruimten.
25.11. Werkcollegeopgaves 4.2, 4.7, 4.1, 3.25, 4.24, 4.16, inleveropgaves 3.18, 4.8, 4.13. Duale ruimte van een Hilbertruimte, orthonormaalsystemen, complete orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1], unitaire operatoren. Compacte verzamelingen.
30.11. Werkcollegeopgaves 4.19, 4.28, 4.30, 4.11, 4.40, 4.41. Normequivalentie in eindige dimensie, alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn lokaal compact, stellingen van Arzelà-Ascoli en Stone-Weierstraß.
2.12. Werkcollegeopgaves 5.5, 5.8, 5.9, 5.23, 5.18, inleveropgaves 4.26, 5.14, 4.20 (herstel fout door in deze opgave met N = {0, 1, 2, ...} te werken, anders mist e_1). Bewijs van de stelling van Stone-Weierstraß, separabele en niet separabele ruimten. Begrensde operatoren. L(E) is Banachalgebra, voorbeelden, open mapping theorem.
7.12. Werkcollegeopgaves 6.4, 6.5, 6.8, 6.9, 6.26. Spectrum, divisie-algebra's. Compacte operatoren. Definitie en eigenschappen.
9.12. Werkcollegeopgaves 6.12, 6.18, 6.23, 6.19, 6.22, inleveropgaves 6.14, 6.15, 5.17. Riesz theorie, approximatie door operatoren van eindige rang.
14.12. Werkcollegeopgaves 7.2, 7.3, 7.8, 7.26, 7.5. Uniform boundedness theorem. Zelfgeadjungeerde operatoren. Orthogonale invariante deelruimten, inverteerbarheid zelfgeadjungeerde operatoren, eigenschappen spectrum,
16.12. Werkcollegeopgaves 8.11, 8.6, 8.12, 8.22, 7.7, inleveropgaves 7.9, 7.19, 7.17. Spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde compacte operatoren. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling, Schrödingervergelijking.
21.12. Werkcollegeopgaves 8.15, 8.7, 9.2, 8.16, 8.21. Vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator, Greense functie, Sturm-Liouville theorie. Operatoren in Hilbertruimten. Existentie geadjungeerde operator.
23.12. Werkcollegeopgaves 9.4, 9.6, 10.1, 9.11, 8.20, inleveropgaves 8.19, 8.23, 9.16. Opgaves die zijn blijven liggen en als er nog tijd is opgaves 7.12, 6.13, 4.31, zoek er verder zelf opgaves uit.
11.1. Werkcollegeopgaves 9.9, 10.3, 9.8, 9.14. Voorbeelden geadjungeerde operator, partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening.
13.1. Werkcollegeopgaves 10.5, 10.9, 10.10, 10.6, inleveropgaves 10.4, 10.7, 10.8. Functionaalrekening, polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren.
18.1. Werkcollegeopgaves 10.38, 10.14, 10.37, 10.26. Fredholm-operatoren. Geadjungeerde en compositie van Fredholm-operatoren, Calkinalgebra, parametrix.
20.1. Werkcollegeopgaves 11.2, 11.3, 11.4, 11.7. Continuïteit van de index, Fredholmoperatoren met vaste index vormen een boogsamenhangende verzameling. Spectraalwaarden. Puntspectrum, continu spectrum, restspectrum. Aansluitend, ook in HFG 611: extra voordracht Zwakke Topologie en Toepassingen (pdf, ps).
25.1. Werkcollegeopgaves 11.8, 12.2, 12.9, 11.22. Approximate point spectrum, essentieel spectrum, rand van het spectrum, geïsoleerde eigenwaarden, niet-essentiële randpunten van het spectrum.