| Week | Behandelde stof | Werkcollege opgaven. |
| Tentamenstof: hoofdstukken 15, 16, 17, 20 (eerste helfd), semi-directe producten, en hoofdstuk 27. | OEFENTENTAMEN Tweede deeltentamen met oplossingen nu ook beschikbaar. |
|
| 51 | De p-Sylow deelgroep van GLn(p) (en SLn(p)) en zijn center. De p-Sylow deelgroepen van Sn voor willekeurig p en n. Semidirecte producten (blz 133). De 3-Sylow deelgroep (ℤ3×ℤ3×ℤ3)⋊ℤ3 van S9. | 23.11, 23.10, 23,12, 20.5, 20.6. |
| 50 | De Sylow stellingen (eerste helfd van Hoofdstuk 20); Voorbeelden: de 2-Sylows in S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, en S8. | 17.11, 17.13, 17.14, 20.2, 20.3. Inleveropgave |
| 49 | de "Orbit Stabilizer theorem" (blz 94). Gevolg: |G| = |Baan| × |Stabilizator|. Gevolg: het centrum van een p-groep is nooit triviaal (blz 95). De twee "Isomorfisme stellingen" op blz 88. Definitie: enkelvoudig groep [zie: opgave 15.12]. Sylow deelgroep. De eerste Sylow stelling (Stelling 20.1 op blz 113). | 16.2, 16.3, 16.4, 16.5, 27.6, 16.6, 16.7, 16.8, 16.10. Inleveropgave |
| 48 | De Cayley graaf van de vrije groep. De helfd van Stelling 27.4: het is makkelijk om homomorfismen uit en vrije groep te definiëeren. <a,b|[a,b]> is de abelianisatie van F2 (blz 168). Stelling: om een homomorfisme <x1,...,xn|r1,...,rk> → H te definiëeren is het voldoende om te zeggen waar de voortbrengers x1,...,xn naar toe gaan, en de relaties te checken. Stelling 16.1: gegeven een homomorfisme φ:G→H, hebben we im(φ) ≅ G/ker(φ). Lemma: als ker(φ)={e} dan φ is injectief. | 27.4, 27.7 Inleveropgave: 27.5 |
| 47 | Tweede helft van Hoofdstuk 15. Presentaties (Hoofdstuk 27). From Ionuţ : "I defined what a word on the alphabet X is, when X is a set; I explained how to multiply words; I told them what a reduced word is, and I cited theorem 27.1 that every word can be simplified to a unique reduced word; I defined the free group F(X) as the set of all reduced words, and when you multiply you just multiply them as words and then take the corresponding reduced one; For a set of relations R\subset F(X), I told them that a group has presentation given by X and R, if it is isomorphic to F(X)/N(R), where N(R) is the smallest normal group containing R, I also wrote this as the intersection of all normal subgroups containing R, (which I think got people confused); As examples I gave them Z=<x|->, Zn=<x,xn>, Z=<x,y|y>, Dn=<r,s|etc.>. The example about Dn, I used as motivating example throughout the exposition, telling them that they had already seen this presentation of it, but now we will explain what it really means." | 12.8, 15.1, 15.5 [hint: gebruik het eerste voorbeeld van 12.7], 15.6, 15.7, 15.8, 15.14 Inleveropgave |
| 46 | Hoohdstuk 15: Normale deelgroepen. Rechts/links nevenclassen (blz 63). Quotiënt groepen. | 12.1, 12.2, 12.3, 12.6, 15.2, 15.3, 15.4, 15.13. |
| 45 | Tentamen: de stof is hoofdstukken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (eerste helft), 11 (eerste helft), 13 (eerste helft), 14 (eerste helft), 16 (eerste blz), 17 (eerste helft), 23 (eerste blz), 27 (eerste blz). | |
| 44 | Herhaal voor het tentamen. --- Oefentoets en quizzen --- | herhaal van de hele stof. |
| 43 | Meer over acties. De quotient X/G van een actie. Stabilizatoren van punten in de zelfde baan zijn isomorph (blz 94). Conjugatie classen (blz 73-75). En actie van een eindig groep is vrij dan en slechts dan als alle banen grote |G| hebben. De stelling van Lagrange (blz 57-58). De stelling van Cauchy (blz 68-69). | 17.1, 17.2, 17.3, 17.5, 17.7, 11.3, 11.4, 13.2, 14.2, 14.4, Inleveropgave 6 |
| 42 | Meer voorbeelden van acties. De groepen GLn(ℝ), GLn(ℂ), On, Un, SOn, SUn (Hfdst 9). De actie van GLn(ℝ) op ℝn. De actie van On op Sn-1, de actie van Un op S2n-1. De links/rechts acties van een groep op sich self (zie blz 41). De conjugatie actie van G op G (zie blz 73 en blz 93). De actie van G×G op G gegeven door (g,h) ↦ (x ↦ gxh-1). Product van groepen (blz 52). Stelling: een actie van G op X en een actie van H op X defineren en actie van G×H op X dan en slechts dan als de twee acties met alkaar commuteren. De banen (=orbits) van een actie; de Stabilizator van een punt x∈X (blz 92). De fix points van een elment g∈G. Transitieve acties (blz 93). Vrije acties (= alle stabilizatoren zijn triviaal). | 6.4, 6.7, 6.9, 6.12, 7.4, 7.6, 7.7, 7.8, 7.12, 8.3, 8.4, 8.5, Inleveropgave 5 |
| 41 | De elementen (1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), ... (1, n-1, n) brengen An voort (≅ blz 30). De kern van een homomorphisme (blz 86). An=ker(sign : Sn→ {±1}). Actie van een groep op een verzameling (blz 91). De isomorphismen Aut+(tetrahedron) ≅ A4 en Aut+(cubus) ≅ S4 [hier staat Aut+(...) voor "orientatie behoudende symmetrien van"]. De isomorphisme G:=Aut+(dodecahedron) ≅ A5 en de actie van van G op de vijf ingeschreven cubussen (blz 37--40). De actie van G:=Aut+(cubus) op de twee ingeschreven tetrahedra en het verband tussen de homomorphismen G→S2 en sign : S4→ {±1}. | Laat zien dat de definitie van homomorphisme dat ik in het college heb gegeven (met de eis φ(e)=e) equivalent is aan de definitie of blz 86 van het boek. 5.1, 5.12, 6.1, 6.2, 6.3, 6.6, 6.8, 6.11, 7.1, 7.2, 7.5, 16.1, 16.8 Inleveropgave 4 |
| 40 | Rechts inversen en links inversen: als ieder element een links invers heeft, dan heeft ieder element een invers (≅blz 9). Isomorphismen; Automorphismen; Homomorphismen (blz 86). Een homomorphisme voldoet automatisch aan φ(x-1)=φ(x)-1. Permutaties. De symmetrisch groep Sn. Transposities, cykles, de twee notaties voor permutaties (blz 27, 28). De drie stellingen op blz 28. De alternerende groep An. De signatuur van een permutatie (=+1 als π ∈ An, en =-1 als π ∉ An). | 3.5, 3.6, 3.7, 3.9, 3.10, 4.7, 4.9, 5.3, 5.5, 5.7, 5.8, 5.11 Inleveropgave 3 |
| 39 | Alle deelgroepen van cyclische groepen zijn cyclisch (blz 24). ℤn < ℤm dan en slechts dan als n deelt m. Ieder cyclische groep is isomorf aan ℤn of ℤ. Automorphismen van groepen (blz 131). De groepen Aut(ℤn) voor n=4 en 5. | 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.10, 5.2, 5.4, 5.10 Inleveropgave 2 |
| 38 | • definition of a subgroup (blz 20) • a nonempty set H is a subgroup iff for all x, y in H xy-1 in H (blz 23) • the intersection of subgroups is a subgroup (blz 24) • Defined the group generated by some elements to be the smallest subgroup containing those elements: it's the intersection of all subgroups which contain said elements • Equivalently, the subgroup generated by some elements is given by all the elements in the original group which can be written as words on the generators of the subgroup (blz 22) • generators (=voortrengers) of a group and of a cyclic group • Worked out in detail how Dn is generated by a rotation and a reflexion • free group generated by n elements (blz 167); (vanuit hier, niet in de quiz materie →) talked about a presentation of a group by generators and relations • the usual presentation of Dn, generated by a rotation and a reflection • finished the lecture explaining how one could have taken two specific reflexions instead and that those two reflexions 1) generate all of Dn, 2) satisfy a2 =b2 = (ab)n = e • did not show that those were all relations one needs to describe Dn. | 1.1, 1.3, 1.5, 1.6, 1.9, 2.2, 2.3, 2.5, 2.7, 2.8 Inleveropgave 1 |
| 37 | De axiomas (blz 6). Abelsche groupen = commutatieve groupen (blz 12). Orde van een groep. Orde van een element (blz 18). Symmetriëen van een gelijkzijdig driehoek (blz 15-17), van een vierkant, van een cubus, ven een octaheder (Figuur op blz 39), van een ruit, etc. Isomorfisme tussen groepen (blz 32). De symmetriegroep van een ruit is niet isomorf aan de symmetrie group van een zwastika. vermenigvuldigingstabellen van somige groepen van order 2 en 6. | Multiplication tables ;) |
