Wiskundige Technieken 3, 2011

Rooster Het college voor WISN202 is op woensdag van 15.15-17.00, uur in zaal MIN 208, in het Minnaertgebouw (begindatum 09 feb).
Het praktikum is op vrijdag van 13.15-15.00 uur (niet 17:00 uur!), in de zaal MIN 202 (begindatum 11 feb.)

Docenten De docent van het vak is André Henriques
en de student assistent is Jan Vlachy (email : j.vlachy@students.uu.nl).

Het dictaat We gebruiken het dictaat Wiskundige Methoden voor Fysici van J. Stienstra, die bij OSZ verkrijgbaar is.

De stof Het onderstaande programma wordt gedurende de cursus aan de gang van zaken aangepast. Kijk elke week op deze website voor de toegevoegde informatie over de te behandelen stof en de te maken vraagstukken. Lees zowel VOOR als NA het college de stof in de syllabus door! (Het college verklaart, vult aan en licht toe maar volgt niet letterlijk de syllabus.)

De tentamens Bij dit vak worden twee tentamens afgenomen: een schriftelijk tentamen halverwege de cursus en een tweede schriftelijk tentamen aan het eind. Beide bepalen 50% van het eindcijfer. Er zijn geen verplichte inleveropgaves.
Hertentamen (schriftelijk, over de hele stoff): Woensdag 24 Aug., 9:00--12:00 in mijn kamer, WIS 506

De behandelde stof:

Week Behandelde stof Werkcollege opgaven.
26
2de deeltentamen: 29 Juni, 14:00 - 17:00 uur in BBL 165
25 De orde van een pool, en de orde van een nulpunt. De formule Resα(f/g)=f(α)/g'(α) [als het over een pool van orde één gaat]. ∫-∞1/(1+x2)dx. ∫-∞1/(1+x4)dx. ∫-∞cos(x)/(1+x2)dx. Oefententamen Antwoorden van het oefentamen (waar relevant): • Opg. 2: √(2 - √3) • Opg. 5: iπ • Opg. 6: e-2π De uitwerkingen van de werkcollege opgaven kun je hier vinden.
24 De twee convergentiestralen van een Laurent reeks. Voorbeeld: de reeks Σn&isinℤ zn/cosh(n). Residuen. De residuestelling. De orde van een pool. Voorbeeld van berekening van een Laurent reeks en van zijn residu: 1/(z4sin(z)). Toepassing van de residuenstelling: berekening van ∫0 1/(cos(x)+3) dx: je kunt deze integraal herschrijven als ∫∂S1 1/((z+z-1)/2+3)dz/iz Opgaven 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24.
23 "Complex differentieerbaar", "Holomorf", en "Analytisch". De convergentiestraal is de afstand tot de dichtbijste singulariteit. Voorbeeld: 1/(1+x2). De stelling van Liouville. De hoodfstelling van algebra. Laurent reeksen (heel korte introductie): Polen, en essentieele sigulariteiten. Opgaven 12, 13, 14, 15. • Voor de volgende funkties, vind de (geisoleerd) singulariteiten en bepaal hun typen: (z2 - 1)/(z-1) • sin(z)/z • 1/(ez -1 ) - 1/(sin z) • z/(ez + 1) • tan(π z) • (1 - cos(z) ) / (sin^2 z) • z (e1/z - 1) • sin(π/z2). • Vind een funktie met een singulariteit die niet geisoleerd is.
22 Stelling 11.1 (met bewijs). Opmerking op blz 106. (geen werkcollege)
21 De stelling van Cauchy en de integraalformule. Slides Berekenen lijnintegralen ∫γ f voor de volgende waardes van f: f(z) = 1/{z2 (z2 - 1)}, γ = positief georienteerde cirkel met straal 1/2 en middelpunt of -1 of 2 f(z) = sin(z+i)/(z2 + 1), γ = positief georienteerde cirkel met straal 2, middelpunt 0 f(z) = ez/(z2 - 1), γ zoals vorige • Geef een voorbeeld van een samenhangende verzameling zodat 1/z daar een primitieve heeft, maar 1/(z-1) en 1/(z+1) niet. • Berekenen reele integralen: ∫0 sin(x2) dx ∫0 sin(x)/x
20 Voorbeelden: ∫1/zndz en ∫zbar dz over verschillende paden en lussen. Bewijs dat 1/z geen primitive op ℂ\{0} heeft. Invarians van de lijnintegraal onder herparamatrisering. De definitie van homotopie van paden. Opgaven 8, 9, 10, 11. Berekenen de lijnintegral ∫C f(z) dz: • f(z) = Re(z), C = lijnstuk van 0 tot 1+i • f(z) = Im(z), C = het deel met Im(z) ≥ 0 van de positief georieenteerde cirkel met middelpunt 0 en straal 1 • f(z) = |z|, C = lijnstuk van 0 tot 2 - i
19 Wat de functies z2, ez meetkundig doen. Het feit dat de functies √z and log(z) afhankelijk zijn van hun domein van definitie. Het feit dat complex differentieerbare functies hoek behoudend zijn (met volledig bewijs). De definitie van lijnintegraal (zonder vorbeelden). Opgaven 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (blz 141 van het dictaat). • Bepaal de limiet als z→0 (als het bestaat) van: ♦ z/|z| ♦ |z| Im(z)/z ♦ Re(z^2)/z • In welke punten is de functie z ↦ |z|^2 + i Re(z^2) complex differentieerbaar? • Welke van de volgende deelverzamelingen van ℂ zijn open, en welke zijn gesloten? ♦ { z : |z| < 1 } ♦ de reeele as ♦ { z | ∃ n ≥ 1 : z^n = 1}.
18 Open en gesloten deelverzamelingen. Complex differentieerbare functies. Tegenvoorbeeld: zzbar. De Cauchy-Riemann vergelijkingen. Voorbeeld: (x,y) ↦ (x2-y2,2xy). Bewijzen van Stellingen 9.2 en 9.4 van het dictaat.
Bevrijingsdag.
17 Bessel functies: de eigenfuncties van f |-> x2f''+xf'+ x2f. Machtreeksen van de vorm Σn≥ 0 an xr+n waar r niet geheel is. De eigenfuncties van: • fxf' , • fx2f'' , • fx2f''+xf'. De Bessel functies van eerste soort Jν voor ν niet in {-1,-2,-3,...}. De Besse functies van de tweede soort (we hebben alleen Y0:=d/dν Jν |ν=0 gezien).
Petitie:
Save pure mathematics at the VU University Amsterdam
En een Youtube video over The importance of mathematics
16
1ste deeltentamen: 15.00-18.00 uur, in de kantine van het Minaertgebouw.
15 Herhaal van de stoff van het eerste blok.
Uitwerkingen van de opgaves uit het dictaat.
14 De machreeksoplossingen Hλeven en Hλoneven van f ''-2xf '+(λ-1)f = 0. De Hermite operator is symmetrisch t.o.v. het inproduct <f,g> := ∫ f(x)g(x)e-x^2dx. De fysisch relevante oplossigen van de bovenstaande vergelijking zijn degene die in de Hilbert ruimte { f : ℝ→ℝ | ∫ f(x)2e-x^2dx < ∞} zitten: dat zijn de veeltermen H1even, H3oneven, H5even, etc. Stelling 5.6 van het dictaat. Formule (37) op blz 53 van het dictaat.
Huiswerk : inleverdatum 8 April
• Meer berekeningen van Fouriercoefficienten in termen van {einx}, en ook in termen van {cos(nx), sin(nx)} (altijd op het interval (-π,π)): ♦ x3 ♦ sgn(x); gebruik dit om Σk=1((-1)k-1)/(2k -1) te berekenen ♦ f(x) = a x, voor -π ≤ x < 0, f(x) = b x voor 0 < x ≤ π ♦ x sin(x)
13 De definitie van inproduct (over ℝ en over ℂ). Orthogonale / orthonormale bases. Hoe je de coefficienten van een willekeurig vector vindt in termen van een gegeven orthonormale basis. Voorbeeld:2 met de basis {(1,0), (0,1)}. Vorbeeld: L2(ℝ)2π-per met de basis {einx}. [zonder bewijs dat het een basis is]. Voorbeeld: L2(ℝ)2π-per met de basis {cos(nx), sin(nx)}. Lemma: als een functie in L2(ℝ)2π-per even is, dan zijn allen coefficienten van sin(nx) nul. Gevolg: {cos(nx)} is een basis van L2(ℝ)2π-per, even
• 26.a,b, 33.a,b,c, 34, •Bereken de Fourier coefficienten op (-π, π) van de volgende functies: ♦ sin2(x) ♦ x ♦ sin(ax), voor a niet in ℤ ♦ |x| ♦ ex ♦ H(x), waar H(x) = 1 voor x > 0 en H(x) = 0 voor x < 0 • Laat zien dat een orthogonale verzameling van vectoren lineaire onafhankelijk is. • Zij V een Hilbert ruimte, met de inprodukt <,> en de norm ||⋅||. Bewijs dat de onderstaande uitspraken equivalent aan elkaar zijn: 1. <x,y> = 0 2. ||x + a y|| = ||x - a y|| voor elke scalar a 3. ||x + a y|| ≥ ||x|| voor elke scalar a
12 De ruimte van machtreeks-oplossingen van een differentiaalvergelijking van order n is n-dimensionaal. Het spectrum van f |→ f' op de ruimte van periodieke functies. Lemma: f is een eigenfunctie van ψ-1φψ bij eigenwaarde λ dan en zelfs dan als ψ(f) een eigenfunctie is van φ bij eigenwaarde λ. De Schrödinger en de Hermite differentiaaloperatoren. • Lees de definite van inprodukt (blz 41 van het dictaat). Opgaven 14 - 20. • Laat zien dat <(v1,v2), (w1,w2)> := v1 w1 + v2 w2 geen inproduct is op ℂ2 • Zij || || de norm uit definitie 5.3 van het dictaat. Geef de functievoorschrift van deze norm. Laat h(x) := sgn(x) de funtie met waarde +1 op ℝ≥ 0 en waarde -1 op ℝ< 0. Geef een voorbeeld van continue functies fn zodat limn → ∞ ||fn - h|| = 0. • V en W zijn vectorruimtes met inprodukten < , >V en < , >W. Dan is er een naturlijke inproduct op de vectorruimte V ⊕ W := { v + w | v ∈ V, w ∈ W}. Hoe ziet dat inprodukt uit?
11
Deze week is hertentamenweek:  Geen hoorcollege en ook geen werkcollege.
10 De vector ruimtes c0(ℕ), ℓ1(ℤ), ℓ2(ℤ), ℓ2(ℕ), ℓ(ℤ), L1(ℝ), L2(ℝ), L(ℝ), L2([a,b])... het feit dat ℓ2 en L2 Hilbert ruimtes zijn. Hun inproducten. {einx}n∈ℤ is een basis van L2(ℝ)2π-per. Lemma 3.5 van het dictaat. Toepassing: {eλx}λ∈ℝ zijn lineair onafhankelijk. Oplossing van de Schoedinger vergelijking df/dt=i(ℏ/(2m)f''-1/ℏVf) (hier is f=f(t,x) en V=V(x)) als je de eigenfuncties van f |→ ℏ/(2m)f''-1/ℏVf zou kennen. • Opgaven 11, 12, 13. • Definitie: Laat V een vectorruimte zijn. Dan heet een functie || || : V → ℝ+ een norm als (voor v,wV, α en scalar) 1. ||v|| = 0 ⇔ v = 0 2. || α v || = |α| ||v|| 3. ||v+w|| ≤ ||v|| + ||w||. Laat dan zien: • Op ℓ1(ℤ) defineert ||an|| := Σn=0 |an| een norm. • Op C[0,1] defineert ||f|| := supx ∈ [0,1] |f(x)| een norm. • Als <|> een inprodukt is op de vectorruimte V, dan defineert ||v|| := √(<v|v>) een norm. In dit geval, geldt de vergelijking 2||v||2 + 2||w||2 = ||v+w||2 + ||v-w||2. • Zij V een vectorruimte, met norm || ||. Laat zien dat d(v,w) := ||v - w|| een metriek defineert. Bedenk een metriek op V dat niet van een norm herkomt. (Definitie: d is een metriek, als 1. d: V × V → ℝ+ 2. d(x,y) = 0 ⇔ x = y 3. d(x,y) = d(y,x) 4. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).)
9 Differentiaalvergelijkingen vertaald in de taal van lineaire algebra. De definities van: vector ruimte, lineaire deelruimte, lineaire afbeelding (=operator), basis, lineair onafhankelijk, eigenwaarde, eigenvector (=eigenfunctie), spectrum. De oplossingen van f''=λf. • Opgaven: 8, 9, 10 (op blz. 63). • Bewijs Lemma 3.4 (op blz. 22) Aanvullende opgaven: • Neem de deelruimte (2) van opgave 6. Bepaal welke van de volgende operatoren lineair zijn: • {an} |→ (1,0,0,0,...) • {an} |→ {an+1} • {an} |→ {an + an+1} • Neem de ruimte C0[0,1] van alle continue foncties [0,1] &rarr ℂ. Bepaal welke van de volgende operatoren lineaire zijn: • f |→ g f (met g een willekeurige continue functie) • f |→ |f| • f |→ x2 f(0) • f |→ ∫0x f(t) dt • f |→ f2 • f |→ f(x2). Extra opgave: Bewijs dat de eigenwaarden van een driehoekmatrix op zijn diagonaal te lezen zijn.
8 De definitie van analytische functies (=holomorf), en reëel analytische functies. De som van twee machtreeksen. Het product van twee machtreeksen. Het voorbeeld 1-1/2+1/3-1/4+... ≠ 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+... De definites van ez, sin(z), cos(z), sinh(z), cosh(z) door differentiaalvergelijkingen. De differentiaalvergelijking van (1+z)r en zijn machtreeksoplossing. Aanvullende opgaven: Los de volgende differentiaalvergelijkingen met de hulp van machtreeksen op: • (x-4) y' + y = 0.  • y'' + 3 x y' - 3 y = 0.  • x2 y'' + x y' + x^2 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0.  • Opgaven 6, 7. Aanvullende opgaven over vectorruimten: • Bewijs dat de verzameling van n × n matrices met optelling van matrices en scalarvemenigvuldiging een vectorruimte vormen. • Bepaal de dimensie van dit vectorruimte. • Laat V de vector ruimte van alle complexe rijen (an)n ≥ 0 zijn. Laat zien dat { (an)n ≥ 0V : an → 0 } een deelruimte is van V. • Zij V als boven. Laat zien dat { (an)n ≥ 0V : |an| is begrensd } ook een deelruimte is. • Bewijs dat alle functies [0,1] → ℝ een vectorruimte vormen. • Laat zien dat dit vectorruimte dimensie oneindig heeft (d.w.z. laat zien dat er geen eindige basis is).
7 Volledig bewijs van Stelling 1.4. Het standard voorbeeld Σ 2nxn. Een machtreeks en zijn formele afgeleide hebben de zelfde convergentiestraal. Stelling 1.7 van het dictaat: de formele afgelede is de afgeleide. De formule an = f(n)(0) / n!. De Taylor reeks van 1/(1+x2). Opgaven 4, 5 (op bladzijde 61). • Schrijf als een machtreeks: (x10)/(1-x) ; e-x^2 oplossingen: Σn=10 xn ; Σn=0 (-1)n x2n/{n!) • Neem f(x) = Σn=0 xn/n! . Bewijs dat f(x)f(y) = f(x+y) (hiervoor mag je de formule voor de product van reeksen gebruiken). • Gebruik machtreeksen om de volgende differentialevergelijkingen op te lossen: (1+z^2) f''(z) - 2z f'(z) + 2f(z) = 0, f(0) = 0, f'(0) = 1; (oplossing: f(z) = z) • (1-z2) f''(z) - 4z f'(z) + 2f(z) = 0; oplossing: Kies willekeurige getallen voor a0 en a1, daarna an+2 = (n2 +3n - 2)/((n+1)(n+2)) • (1+z2) f'(z) =1, f(0) = 0; oplossing: f(z) = Σn=0 (x2n+1)/(2n + 1). Dit is arctan. • f''(z) - 2f'(z) +f(z) = 0; oplossing: f(z) = (a+bz)ez, met a en b willekeurige complexe getallen.
6 Absolutue convergens van reeksen. Een voorbeeld van een reesk die convergent, maar niet absoluut convergent is. Meetkundige reeksen. Lemmas 1.1 en 1.2 van het dictaat. De convergentiestraal. Voorbeelden van verschillende convergentiegedragen op het rand van de convergentieschijf: de functies 1/(1-z), Li(z), en -log(1-z). Eerste gedeelte van stelling 1.4 van het dictaat. Opgaven 1, 2, 3 (op bladzijde 61). Andere opgaven: • Bepaal de volgende convergentiestralen voor a ∈ (0,1): Σ an^2 xn • voor a > 1: Σ (n!)/(an^2) xn • Bepaal de volgende sommen: Σ (x2n+1)/(2n + 1) • Σ k xk • Σ (x2k)/(2k)! • Σ (-1)kk3/(3k)



Resultaten van de twee deeltentamens, met eindcijfer dabij: 3547833:10.0, 9.5, 10.0, 3359778: 8.5, 6.5, 7.5, 3355179:10.0, 10.0, 10.0, 3379663: 3.0, 7.0, 5.0, 3471594: 3.5, - , - , 3018792: - , - , - , 3473619: 1.0, - , - , 3471640: 5.5, 5,0, 5.0, 3471659: 8.5, 6,0, 7.5, 3355101: 9.5, 8.0, 9.0, 3471667: 7.5, 10.0, 9.0, 3505014: 9.5, 9.0, 9.5, 3402118: - , - , - , 3471705: 9.0, 6.5, 8.0, 3471713: - , - , - , 3471047: 8.5, 10.0, 9.5, 3471446: 7.0, 6.5, 7.0, 3492230: 7.5, 8.5, 8.0, 3507858: 8.5, 9.5, 9.0, 3471462: 8.0, 9.0, 8.5, 3476995:10.0, 10.0, 10.0, 3533891: - , - , - , 3173801: 8.0, 5.0, 6.5, 3473597: 1.0, - , - , 3492257: - , - , - , 3548783: 9.0, 9.0, 9.0, 3471470: 7.0, 9.0, 8.0, 3253619: 7.0, 3.0, 5.0, 3479218: - , - , - , 3471500: 8.5, 6,0, 7.5, 3535452: 5.5, 6.5, 6.0, 3471535: 9.0, 9.0, 9.0, 3143961: 9.5, 10.0, 10.0, 3337375: 7.0, 10.0, 8.5, 3490009: - , - , - , 3477223: 9.0, 7.0, 8.0, 3379418: 9.5, 9.0, 9.5, 3471578: 7.5, 6.5, 7.0, 3484998: 1.0, - , - , 3481727: 8.0. 9.0, 8.5,