| Week | Behandelde stof | Werkcollege opgaven. |
| 21 | De definitie van holomorf en van analytisch. Het bewijs van Stelling 11.1: holomorf impliceert analytisch (en ook andersom). Daarvoor hebben we 10.7 nodig gehad. De orde van een pool. De definitie van essentiële singulariteit. | Opgaves 13, 14, 15, 17, 18, 24. |
| 20 | Laurent reeksen. De formule an=∫C f(z)/zn+1dz. Residuen. De residuenstelling. Voorbeeld van toepassing: de berekening van ∫02πdx 1/(cos(x)+3). |
Inleveropgave: Opgaven 11, 16, 35a,b (en 35c voor bonus punten).
Inleverdatum: Vrijdag 1 Juni (begin van werkcollege). |
| 19 | Invarians van de lijintegraal onder herparametrizerigen. Orientatie omdraaien = minus teken. Homotopie van lussen; homotopie van padden (met vaste eindpunten). Invarians van de lijintegraal onder homotopieën. Definitie 10.2. Stelling 10.6. | Opgaven 11, 12, 16 (hint: gebruik de machreeksontwikkelingen van deze functies, en de berekening van ∫ zndz) • Geef een voorbeeld van een samenhangende verzameling zodat 1/z daar een primitieve heeft, maar 1/(z-1) en 1/(z+1) niet. |
| 18 | Volledig bewijs dat complex differentieerbaare functies hoek behoudende afbeeldingen ℂ→ℂ zijn, en dat dit een equivalens is (behalve in de punten waar de afgeleide nul is). Lijnintegralen. Als en functie f een primitieve heeft, dan is ∫ f(z)dz gelijk aan g(β)-g(α). Voorbeeld: ∫ 1/z dz. Bewijs dat de log functie niet bestaat als functie van ℂ \{0} naar ℂ | Opgaven (op blz 141): 6, 7, 8, 9, 10 [Voor deze opgaves mag je gebruiken dat als een functie een primitieve heeft, dan de lijnintegraal makkelijk uitterekenen is]. Bereken de lijnintegraal ∫C f(z) dz voor: • f(z) = Re(z), C = lijnstuk van 0 tot 1+i • f(z) = Im(z), C = het deel met Im(z) ≥ 0 van de positief georieenteerde cirkel met middelpunt 0 en straal 1 • f(z) = |z|, C = lijnstuk van 0 tot 2 - i |
| 17 | Complexe functies. Het beeld van {z|Re(z)>0; Im(z)>0} onder de afbeeldingen z↦z2 en z↦⎷z. Het beeld van {z|0<Re(z)<1; 0<Im(z)<π} onder de afbeelding z↦ez. De definitie an complex differentieerbaar. De Cauchy-Riemann vergelijkingen. Complex differentieerbaare functies zijn hoek behoudende afbeeldingen ℂ→ℂ. | Opgaven (op blz 141): 1, 2, 3, 4, 5. • Bepaal de limiet als z→0 (als het bestaat) van: 1: z/|z|; 2: |z| Im(z)/z; 3: Re(z2)/z. • Gebruik de Cauchy-Riemann vergelijkingen om te bepalen in welke punten de functies 1: x+iy ↦ x2+y2+ixy 2: z ↦ |z|2 + i Re(z2) complex differentieerbaar is. |
| 14 | Het adjungeerde van een operator. Symmetrische, Hermitese, orthogonale, en unitaire operatoren. Het feit dat de Hermite operator symmetrisch is t.o.v. het inproduct <, >e-x2. Stellingen 5.6 en 5.7 uit het dictaat. De schattingen op blz 31/32 van het dictaat. De orthogonaliteitsrelaties van de Hermite polynomen. |
Geen werkcollege (goede Vrijdag). Oefententamen |
| 13 | Innproducten, en de bijhoorende begripen: norm, afstand(blz 1 van het dictaat!), hoek, loodrecht. Het standaard nnproduct op ℝn en op ℂn. Voorbeeld van een ander innproduct op ℂ2. De Cauchy-Schwarz ongelijkheid. De definite van Hilbert ruimte (niet heel erg precies): het is een vector ruimte H voorzien met een innproduct, zodat als ||f||<∞ dan f in H ligt (een hier is ||f|| de norm die bij het innproduct gedefineerd is). Definitie van symmetisch operator ten opzichten van een innproduct. Voorbeeld 3 op bol 51 van het dictaat. | Opgaven 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20(a), voorbeeld 2 op blz 50 [zonder de orthogonaliteitsrelaties]. |
| 12 | Lemma: f is een eigenfunctie van φ bij eigenwaarde λ dan en slechts dan als ψ(f) een eienfunctie van ψ-1φψ is, bij dezelfde eigenwaarde. De operator van Schrodinger, en de Operator van Hermite (alles t/m het midden van blz 31 van het dictaat). | Opgaves 13, 36, 37 uit het dictaat. • Gegeven het feit dat f(x) een eigenfunctie van de differentiaaloperator D:f(x) ↦ f'''(x)+x3f(x) is, vind een functie [die kun je in termen van f uitdruken] die een eigenfunctie is van de differentiaaloperator \tilde D : f(x) ↦ 8 f'''(x) + 1/8 * x3 f(x), bij de zelfde eigenwaarde. • Gegeven het feit dat f(x) een eigenfunctie van de differentiaaloperator D:f(x) ↦ f'''(x)+x3f(x) is, vind een functie [die kun je in termen van f uitdruken] die een eigenfunctie is van de differentiaaloperator \tilde D : f(x) ↦ 2f'''(x) + x3 f(x). • Ga na dat de Hermite polynomen op blz 33 goed berekend zijn. |
| 11 | Geen hoorcollege | Geen werkcollege |
| 10 | Het spectrum van een operator. Het spectrum van the operator van tweede afgeleide werkend op de ruimte van 2π-periodieke functies. Lemma 3.5 van het dictaat. De Schrödinger differentiaaloperator en de oplossing van de Schrödinger vergelijking in termen van een eigenfunctie decompositie van de initial data. |
Opgaven 10, 11, 12, 31, 32 Inleveropgave: opgaven 25 en 28 van het dictaat inleverdatum: vrijdag 23 maart, aan het begin van het werkcollege. (digitaal inleveren mag, maar dan liever geen handgeschreven en ingescand werk) |
| 9 | De machtreeksoplossing van de differentiaalvergelijking voor (1+z)r. De definitie van binomiaalcoefficienten. Vector ruimten. De definitie van de ruimten C0(ℝ), C1(ℝ), C2(ℝ) C∞(ℝ). Lineaire afbeeldingen. De afbeelding f ↦ (1+z)f ' is lineair, en de eigenfuncties van deze afbeelding zijn de functies (1+z)r. Eigenvector=eigenfunctie. Basis. Lineair onafhankelijkheid. De eigenfuncties van de differentiaaloperatoren f ↦ f ' en f ↦ f ''. De matrix van een differentiaal operator ten opzichte van de basis {1, z, z2, z3, z4,...} van de ruimte van analytische functies. | Opgave 4 (op blz 61) Opgaven 6, 7 (op blz 62) Opgaven 8,9 (op blz 63) Neem de ruimte C0([0,1]) van alle continue foncties [0,1] → C. Bepaal welke van de volgende operatoren lineaire zijn: • f ↦ g f (met g een willekeurige continue functie) • f ↦ |f| • f ↦ x2 f(0) • f ↦ ∫0x f(t) dt • f ↦ f2 • f ↦ f(x2). |
| 8 | De formule an = f(n)(0) / n!. De formule an = f(n)(b) / n! voor machtreeksen gecentreerd rond b. De definitie van analytische functies, en reëel analytische functies. De definites van ez, sin(z), cos(z), sinh(z), cosh(z) door differentiaalvergelijkingen. De differentiaalvergelijking van (1+z)r. | • 25 (a, b, c), 28 (a, b, c), 32 (a, b), en 4. Aanvullende opgaven: Los de volgende differentiaalvergelijkingen met de hulp van machtreeksen op: • (x-4) y' + y = 0. • y'' + 3 x y' - 3 y = 0. • x2 y'' + x y' + x^2 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0. | 7 | Volledig bewijs van Stelling 1.4. Het standard voorbeeld Σ 2nxn. Een machtreeks en zijn formele afgeleide hebben de zelfde convergentiestraal. Stelling 1.7 van het dictaat: de formele afgelede is de afgeleide. |
• Wat is de formule: als (Σn=0∞anxn)(Σn=0∞bnxn)=(Σn=0∞cnxn),
dan cn = ??? • Schrijf de volgende functies als machtreeksen: (x10)/(1-x) ; e-x^2. • Neem f(x) = Σn=0∞ xn/n!. Bewijs dat f(x)f(y) = f(x+y) (hiervoor mag je de formule voor het product van reeksen gebruiken). • Stel f(x)=Σn=0∞anxn, g(x)=Σn=0∞bnxn en f(g(x))=Σn=0∞cnxn. Druk c0, c1, c2, c3, en c4 in termen van an en bn uit. [kun je de algemene formule voor cn bedenken?] • Opgave 5 (op blz 61). |
| 6 | Absolutue convergens van reeksen. Een voorbeeld van een reesk die convergent, maar niet absoluut convergent is. Meetkundige reeksen. Lemmas 1.1 en 1.2 van het dictaat. De convergentiestraal. Voorbeelden van verschillende convergentiegedragen op het rand van de convergentieschijf: de functies 1/(1-z), Σ 1/n2 zn, en -log(1-z). Eerste gedeelte van stelling 1.4 van het dictaat. | Opgaven 1, 2, 3 (op bladzijde 61). Andere opgaven: • Bepaal de volgende convergentiestralen voor a ∈ (0,1): Σ an^2 zn • voor a > 1: Σ (n!)/(an^2) zn [Hint: gebruik de formule van Stirling] • Bepaal de waarden van de volgende sommen: Σ (x2n+1)/(2n + 1) • Σ k zk • Σ (z2k)/(2k)! |