Grondslagen van de Wiskunde (2010/2011)

Colleges (in blok 1 en 2):

Hoorcollege: Donderdag, 13.15-15.00 in MIN 202 (docent: Dr. Ittay Weiss)
Werkcollege:Donderdag, 15.15-17.00 in MIN 202 (Egbert Rijke, Marcel de Reus)

Cursusbeschrijving

Deze cursus bestaat uit vier delen. Het eerste deel, verzamelingenleer, sluit direct aan op de cursus ``Wat is wiskunde?'' uit het eerste jaar. We verdiepen onze kennis van de naïeve (=niet-axiomatische) verzamelingenleer. De onderwerpen zijn: kardinaalgetallen, keuze-axioma, Lemma van Zorn, welordeningen en transfiniete recursie. In een appendix worden enkele equivalenties met het keuze-axioma bewezen. Deel twee, modellen, definieert een stramien waarbinnen veel wiskundige theorieën kunnen worden opgeschreven: een taal in de predicaatlogica, en modellen voor zo'n taal. Verder: de Compactheidsstelling, kwantor-eliminatie voor algebraïsch afgesloten lichamen, en de stellingen van Löwenheim en Skolem. In het derde deel wordt precies gedefinieerd wat we onder een (formeel) bewijs verstaan. We bewijzen Gödel's Volledigheidsstelling die zegt dat er voor een uitspraak een bewijs is, precies dan als die uitspraak geldt in alle modellen. Als de tijd het toelaat, zullen we ook een inleiding geven in de formele verzamelingenleer, het axiomastelsel van Zermelo en Fraenkel.

Literatuur

VERPLICHT: "Sets, Models, and Proofs", Prof. I. Moerdijk, Dr. J. van Oosten (dictaat)

Werkvorm en beoordeling

Er zijn er twee deeltentamens. Het gemiddelde daarvan is het eindcijfer voor de cursus. Om de cursus te halen moet het eindcijer minstens 5,5 zijn, terwijl het resultaat voor elk deeltentamen minstens 5 moet zijn. Er zijn er geen verplichte inleveropdrachten. Een student die feedback wil krijgen mag een oplossing voor een opdracht opschrijven en bij de docent inleveren. De student krijgt die de volgende sessie met opmerkingen terug.

Daarnaast is er de mogelijkheid voor een herkansing. De herkansing bestaat uit een tentamen over de hele stof. Om de cursus te halen moet de resultaat hiervan minstens 5,5 zijn.

Rooster Blok 1 (wijzigingen onder voorbehoud)

Week	Datum
37	16-09-2010	HC	Verzamelingen en kardinaliteiten: alles tot en met de dicussie over de continuumvermoeden op blz 10.
37	16-09-2010	WC	1 t/m 6 8 t/m 12
38	23-09-2010	HC	De keuze axioma en Zorns Lemma
38	23-09-2010	WC	13 t/m 22
39	30-09-2010	HC	Meer over Zorns Lemma: Het bewijs uit Zorns Lemma van de keuze axioma en de principe van kardinaliteiten vergelijkbaarheid Welgeordende verzamelingen: Definities, voorbeelden en het bewijs dat er hoogstens een embedding kan zijn tussen twee welgeordende verzamelingen.
39	30-09-2010	WC	23, 24, 26 t/m 29
40	07-10-2010	HC	Meer over welgeordende verzamelingen: Elementaire stellingen en transfinite inductie Zermellos welorde Stelling De equivalentie tussen AC, pcv, Zemellos welorde Stelling en Zorns Lemma: Het Lemma van Hartog De equivalentie
40	07-10-2010	WC	30 t/m 38 (sommige worden tijdens het hoorcollege uitgewerkt)
41	14-10-2010	HC	2.1 t/m 2.2 - Eerste orde logica
41	14-10-2010	WC	Alle opgaven uit hoofdstuk 1
42	21-10-2010	HC	2.3 t/m 2.4 - Structuren voor eerste orde logica + voorbeelden
42	21-10-2010	WC	40 t/m 49, 51, 52
43	28-10-2010	HC	2.5
43	28-10-2010	WC	53 t/m 63
44	04-11-2010	HC	2.6 + herhaling
44	04-11-2010	WC	64, 65 + alle opdrachten tot en met 65
45	11-11-2010		Tentamen Blok 1 14.00 - 17.00 uur, AARD GROOT
46	18-11-2010	HC	2.7 - Kwantor eliminatie
46	18-11-2010	WC	66 t/m 72
47	25-11-2010	HC	2.8 t/m 2.9 De Löwenheim-Skolem stellingen + categorische theoriën
47	25-11-2010	WC	73 t/m 79
48	02-12-2010	HC	3.1 - Bewijzbomen
48	02-12-2010	WC	80 t/m 82 + gelegenheid om opdrachten uit hoofdstuk 2 te oefenen
49	09-12-2010	HC	3.1 vervolg t/m 3.2 - De geldigheids- en volledigheidsstelling
49	09-12-2010	WC	83 t/m 89
50	15-12-2010	HC	3.2 vervolg t/m 3.3 - Skolem functies
50	15-12-2010	WC	90 t/m 95
51	23-12-2010	HC	3.4 De axioma's van ZF(C) en wat theorie
51	23-12-2010	WC	Alle opgaven
52			onderwijsvrij
1			hertentamen blok 1
2			studieweek
3	20-01-2011		Tentamen blok 2 13.30 - 16.30 uur, EDUCATORIUM GAMMA