Universiteit Utrecht Department of Mathematics
Fabian Ziltener




Maat en integratie (WISB312), blok 1, 2017/ 2018

Rooster

Algemene informatie

Hoorcollege:
woensdags 13:15 - 15:00 in BBG 023
vrijdags 11:00 - 12:45 in BBG 023

Werkcollege:
woensdags 15:15 - 17:00
vrijdags 13:15 - 15:00
zalen zie osiris-website

Werkcollegebegeleider: Bjarne Kosmeijer, b.a.kosmeijer@uu.nl

Inleveropdrachten: Elke week zijn er inleveropdrachten voorgeschreven. Deze dienen de volgende woensdag voor het werkcollege te worden ingeleverd. De student krijgt de inleveropdrachten de volgende vrijdag in het werkcollege terug met opmerkingen.

Tentamen: Op het tentamen mogen boeken, cursusmateriaal en rekenmachines niet gebruikt worden, maar het is toegestaan om één vel papier (A4 formaat, voor- en achterkant) met eigen aantekeningen mee te nemen. Deze moeten handgeschreven zijn.

Eindcijfer: Als je voor het tentamen slaagt dan is je eindcijfer = 0.15*inleveropdrachten + 0.85*tentamen. Als je niet slaagt of het tentamen niet aflegt dan mag je het hertentamen afleggen mits je inspanning voor de cursus voldoende was. De inleveropgaven tellen ook voor het hertentamen mee. Meer details worden gedurende het eerste hoorcollege bekendgemaakt.

Omschrijving

Intuïtief gesproken is een maat een afbeelding die een grootte of inhoud toekent aan objecten. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling \(X\) een afbeelding \(\mu:\mathcal{A}\to[0,\infty]\), waarbij \(\mathcal{A}\) een \(\sigma\)-algebra van deelverzamelingen van \(X\) is. (Dit begrip zal in deze cursus worden gedefinieerd.) We eisen dat de maat van de lege verzameling \(0\) is en dat \(\mu\) \(\sigma\)-additief is, dat wil zeggen dat de maat van de vereniging van aftelbaar veel disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. Een belangrijk voorbeeld is de Lebesgue-maat op de euclidische ruimte \(\mathbb{R}^n\). Deze veralgemeent de begrippen van lengte, oppervlakte en volume.

Naïef gedacht zou elke deelverzameling van \(\mathbb{R}^n\) een inhoud moeten hebben. Het is echter niet mogelijk om een niet triviale maat op alle deelverzamelingen van \(\mathbb{R}^n\) te definiëren zó, dat de maat van elke deelverzameling gelijk blijft als we de deelverzameling draaien of verschuiven. Dit volgt uit de Banach-Tarski-paradox die het volgende beweert. Zij \(n\geq3\) en \(A,B\subseteq\mathbb{R}^n\) begrensde deelverzamelingen met niet-lege inwendigen. Dan kan \(A\) in eindig veel disjuncte delen gesplitst worden die kunnen worden samengevoegd tot \(B\). Hierbij worden de stukken alleen gedraaid en verschoven.

Voorbeeld voor de Banach-Tarski-paradox: Een (massieve) driedimensionale bol kan in vijf disjuncte delen worden opgesplitst die kunnen worden samengevoegd tot twee bollen, beide even groot als het origineel. De delen worden daarbij alleen maar gedraaid en verschoven. (Dit lijkt niet het geval in het plaatje, maar het kan!)

Zij \(X\) een verzameling, \(\mathcal{A}\) een \(\sigma\)-algebra op \(X\) en \(\mu:\mathcal{A}\to[0,\infty]\) een maat. We zullen de Lebesgue-integraal \(\int_Xfd\mu\) voor geschikte functies \(f:X\to\mathbb{R}\) definiëren. Deze veralgemeent de eigenlijke Riemann-integraal uit WISB212. Gebaseerd op de Lebesgue-integraal zullen we definiëren:
\(\begin{align*}\mathcal{L}^p(\mu)&:=\left\{f:X\to\mathbb{R}\,\Bigg|\,f\textrm{ is }\mu\textrm{-meetbaar, }\int_X|f|^pd\mu<\infty\right\},\\ L^p(\mu)&:=\mathcal{L}^p(\mu)/\big\{f:X\to\mathbb{R}\,\big|\,f=0\,\mu\textrm{-bijna overal}\big\}. \end{align*}\)

(Meetbaarheid en “\(\mu\)-bijna overal” zullen in deze cursus worden gedefinieerd.) We zullen onder andere de volgende stelling behandelen:

Minkowski's driehoeksongelijkheid en Stelling van Riesz-Fischer:
De ruimte \(L^p(\mu)\) van equivalentieklassen van \(p\)-integreerbare functies is een volledige genormeerde vectorruimte.

Deze stelling speelt een belangrijke rol in de theorie van de partiële differentiaalvergelijkingen. De ruimte \(L^p(\mu)\) wordt ook als een centraal voorbeeld gebruikt in de functionaalanalyse (WISB315). Verder bestaat in de kwantummechanica de ruimte \(\mathcal{L}^2(\mu)\) uit de mogelijke golffuncties voor een deeltje, waarbij \(\mu\) de Lebesguemaat op \(\mathbb{R}^3\) is. (De functies nemen daar complexe waarden aan.) De Lebesgue-integraal en de bovenstaande stelling spelen daarom ook een belangrijke rol in de natuurkunde. (Als we \(L^p\) op analoge wijze met behulp van de Riemann-integraal definiëren dan is deze ruimte niet volledig. Dit is een groot voordeel van de Lebesgue-integraal.)

Maten en Lebesgue-integralen zijn ook de grondslagen voor de kansrekening. Daar worden maten bestudeerd die aan de gehele ruimte het getal 1 toewijzen. De meetbare deelverzamelingen daarvan worden als gebeurtenissen beschouwd, waarvan de kans door de maat wordt gegeven.

Inhoud

In deze cursus zullen we onder anderen de volgende wiskundigen tegenkomen:

Henri Lebesgue, 1875 - 1941
Constantin Carathéodory,
1873 - 1950
Johann Radon, 1887 - 1956

Ingangseisen

Vereiste voorkennis

Analyse (WISB114) en Lineaire algebra (WISB121)

Aanbevolen voorkennis

Inleiding Topologie (WISB243)

Toets jezelf

Als je een van de volgende begrippen niet kent, neem dan snel een boek of dictaat over analyse of lineaire algebra ter hand.
En nu nog de ultieme vraag: Voor alle \(n,i\in\mathbb{N}\) zij \(a^n_i\geq0\) een reëel getal zodanig dat de rij \((a^n_i)^{n\in\mathbb{N}}\) convergeert voor ieder \(i\). Geldt dan

\(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^\infty a^n_i=\sum_{i=1}^\infty\lim_{n\to\infty}a^n_i?\)
Ja Nee Weet ik niet.

Werkhouding

De student die dit college volgt wordt geacht daarvoor 210 uren college + werkcollege + thuisstudie, d.w.z. het arbeidsuren-equivalent van 7,5 ECTS, beschikbaar te hebben.

Materiaal

aantekeningen

Toen ik deze cursus in 2017/2018 gaf, heb ik aantekeningen geschreven. Ik zal daar gedurende het eerste hoorcollege meer over zeggen. Mijn aantekeningen zijn geen officieel dictaat. Er zitten misschien fouten in. Als je zulke vindt dan hoor ik dat graag.

De aantekeningen van Prof. J. K. Hunter zullen waarschijnlijk ook goed bij mijn hoorcollege aansluiten. Vergeleken met het boek van Cohn (referentie hieronder) bevatten ze extra motivatie en interessante opmerkingen.

aanbevolen boek

Cohn, Donald L., Measure Theory, second edition, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Birkhäuser/Springer, New York, 2013.

Het hoorcollege volgt ongeveer delen van dit boek.

alternatieve boeken

Royden, Halsey L., Real analysis., third edition. Macmillan Publishing Company, New York, 1988.

Folland, Gerald B., Real analysis: Modern techniques and their applications, second edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.

Halmos, Paul R., Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1974.

Schilling, Rene L., Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press 2005.

Holewijn, P. J., van Harn, K., Maat- en Integratietheorie-met basiselementen van de waarschijnlijkheidsrekening, second edition, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2008.