Universiteit Utrecht Department of Mathematics
Fabian Ziltener




Functionaalanalyse (WISB315), blok 2, 2017/ 2018

Rooster

Algemene informatie

De cursus zal in het engels worden gegeven.

Hoorcollege:
woensdags, 13:15 - 15:00, BBG 023
vrijdags, 9:00 - 10:45, BBG 023

Werkcollege:
woensdags, 15:15 - 17:00, DDW 1.30
vrijdags, 11:00 - 12:45, BBG 023

Werkcollegebegeleiders:
Eva van Ammers (e.vanammers ``at'' students.uu.nl)
Mike de Vries (m.p.devries ``at'' students.uu.nl)

Inleveropdrachten: Elke week zijn er inleveropdrachten voorgeschreven. Die dienen de volgende woensdag voor het werkcollege te worden ingeleverd. De student krijgt de inleveropdracht de volgende vrijdag in het werkcollege terug met opmerkingen.

Tentamen: Op het tentamen mogen boeken, cursusmateriaal en rekenmachines niet gebruikt worden, maar het is toegestaan om één bladzijde (A4 formaat, voor- en achterkant) met eigen aantekeningen mee te nemen. Deze moeten handgeschreven zijn.

Eindcijfer: Als je voor het tentamen slaagt dan is je eindcijfer = 0.15*inleveropdrachten + 0.85*tentamen. Als je niet slaagt of het tentamen niet aflegt dan mag je het hertentamen afleggen mits je inspanning voor de cursus voldoende was. De inleveropgaven tellen ook voor het hertentamen mee. Meer details worden gedurende het eerste hoorcollege bekendgemaakt.

Omschrijving

Functionaalanalyse is de theorie van genormeerde vectorruimten en lineaire afbeeldingen (operatoren) tussen zulke ruimten. Deze ruimten kunnen eindig- of oneindigdimensionaal zijn. Functionaalanalyse kan worden gebruikt om aan te tonen dat bepaalde integraalvergelijkingen en partiële differentiaalvergelijkingen een oplossing hebben. Voorbeelden zijn de Volterra-integraalvergelijking en de Poisson-vergelijking (= inhomogene Laplace-vergelijking). Deze laatste treedt bijvoorbeeld op in de electrostatica. De Hamilton-operator uit de kwantummechanica is een onbegrensde zelfgeadjungeerde operator. Zo'n operator kan worden “gediagonaliseerd”. We zullen een versie van deze stelling voor compacte zelfgeadjungeerde operatoren behandelen.

Enkele uitspraken en wiskundigen die we in deze cursus zullen tegenkomen zijn de volgende:

In oneindig veel dimensies is de sfeer niet compact:
De rij \(x_1,x_2,\ldots\) heeft geen convergente deelrij.
David Hilbert, 1862 - 1943
Frigyes Riesz, 1880 - 1956
Stefan Banach, 1892 - 1945
Volterra integral equation:

\(\begin{eqnarray*}&x(t)+\int_0^tk(t,s)x(s)\,ds=y(t)\quad (1)&\\ &\iff(\operatorname{id}+T)x=y& \end{eqnarray*}\)

Theorem: \(\begin{eqnarray*} &S=\operatorname{id}+T\textrm{ injective},&\\ &\operatorname{ind}(S)=\dim\ker(S)-\dim\operatorname{coker}(S)=0& \end{eqnarray*}\)

Corollary: \(\exists!\) solution \(x\) of \((1)\)

Inhoud

Ingangseisen

Vereiste voorkennis

WISB114 (Analyse) en WISB121 (Lineaire Algebra).

Aanbevolen voorkennis

WISB212 (Analyse in meer variabelen), WISB243 (Inleiding Topologie) en WISB312 (Maat en integratie).

Toets jezelf

Als je een van de volgende begrippen niet kent, neem dan snel een boek of dictaat over lineaire algebra, analyse (in een of meer variabelen) of functies en reeksen ter hand.
En nu nog de ultieme vraag: Voor alle \(n,i\in\mathbb{N}\) zij \(a^n_i\geq0\) een reëel getal zodanig dat de rij \((a^n_i)^{n\in\mathbb{N}}\) convergeert voor ieder \(i\). Geldt dan

\(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^\infty a^n_i=\sum_{i=1}^\infty\lim_{n\to\infty}a^n_i?\)
Ja Nee Weet ik niet.

Materiaal

Aantekeningen

Toen ik afgelopen drie jaar deze cursus gaf, heb ik aantekeningen geschreven. Ik zal daar gedurende het eerste hoorcollege meer over zeggen. Mijn aantekeningen zijn geen officieel dictaat. Er zitten misschien fouten in. Als je zulke vindt dan hoor ik dat graag.

aanbevolen boek

B. P. Rynne and M. A. Youngson, Linear Functional Analysis Springer, London, 2008.

Het hoorcollege volgt ongeveer dit boek.

alternatieve boeken

H. Hanssmann, Functionaalanalyse, Epsilon Uitgaven 81, 2015.

D. Werner, Funktionalanalysis, 2. ed., Springer-Verlag, 1997.

N. Young, An Introduction to Hilbert space, Cambridge University Text, Cambridge, 1988/89.

K. Saxe, Beginning Functional Analysis; Springer, New York, 2002.

J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis; Academic Press, New York, 1960/69.