Vakbeschrijving: Het eerste deel van dit college bestaat uit
de theorie van de ringen. Voorbeelden van ringen zijn de gehele getallen en de
veeltermen. Maar er zijn nog vele anderen. Het ringbegrip omvat
alle gemeenschappelijke eigenschappen van systemen waarop we een
optelling en vermenigvuldiging hebben. De volgende begrippen
komen ter sprake: ringhomomorfismen, idealen, polynomen,
priemidealen, maximale idealen, en veel voorbeelden.
Het tweede deel, Galoistheorie, komt voort uit klassieke problemen
in de wiskunde. Bijvoorbeeld klassieke constructie problemen met
passer en liniaal (trisectie van de hoek) en het probleem van de
oplossing van hogere graadsvergelijkingen. Door studie van de
achterliggende symmetrieëen (galoisgroepen) kunnen we vaak komen
tot een oplossing van deze problemen. Belangrijk hierbij is de theorie
van de lichamen (systemen met optelling, vermenigvuldiging en deling).
De volgende begrippen komen ter sprake: lichaamsuitbreidingen, constructies,
Galoiscorrespondentie, oplosbaarheid, eindige lichamen.
Doel: Je leert werken met abstracte begrippen als
ring, ideaal, quotient en lichaamsuitbreiding, en ziet daarvan toepassingen
op getaltheoretische, algebraische en meetkundige problemen.
Cursus materiaal: We volgen het dictaat Rings and Galois Theory 2018,
verkrijgbaar bij A-eskwadraat. Let op, in het verleden werd het
boekje van Ehrlich gebruikt, dit jaar (en vorig jaar) doen wij dat niet.
Tijd en plaats:
Begin van de cursus op 7 februari. Het hoorcollege vindt plaats op
woensdagen van 13u15 tot 15u00 uur in Unnik 211, op vrijdagen van
9u00 tot 10u45 in Ruppert D.
De werkcolleges vinden direct na het college plaats. Voorlopig in twee
groepen: Groep 1 (BBG023 op woensdagen, BBG083 op vrijdagen) en Groep 2
(BBG077, vanaf 23/2: MIN208). De practicumleiders zijn Lasse Grimmelt
(groep 2, l.p.grimmelt@uu.nl) en Carlo Verschoor (groep 1, c.a.verschoor@uu.nl)
Beoordeling: Het eindcijfer wordt bepaald door 75% van het tentamen
(11 april, Theatron 13:30 - 16:30)
en 25% van de inleveropgaven, met dien verstande dat voor je het tentamen minimaal een 5 haalt.
Voor de herkansing (4 juli, Ruppert 011, 13:30 - 16:30)
tellen de inleveropgaven niet meer mee en telt alleen het tentamen.
Wekelijks schema:
- Woensdag 7 februari
Hoorcollege,: Introductie Ringen
Diktaat: 1.1 en 1.2.
Werkcollege: Diktaat 1.5: 1, 2, 3, 5, 8, 11, 12, 14.
- Vrijdag 9 februari
VERVALT
Huiswerkopgave voor de komende week: 1.5.18 en 1.5.19 (hier mag je Venn-diagrammen gebruiken).
Inleveren 16 februari voor het begin van het werkcollege.
- Woensdag 14 februari
Hoorcollege: Ringconstructies, ringhomomorfismen en idealen
Dictaat 1.3, 2.1 en 2.2
Werkcollege: Dictaat 1.5: 13, 17, 9, midden p20: 1, 3,
1.6: 1, 4, 5, 8
- Vrijdag 16 februari
Hoorcollege: Idealen, restklassen, isomorfiesteling.
Dictaat: Hoofdstuk 2.1 en 2.2.
Werkcollege:
Diktaat 2.4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.
- Woensdag 21 februari
Hoorcollege: Rekenen met idealen, Chinese reststelling en toepassingen.
Dictaat: Hoofdstuk 2.3.
Werkcollege: Diktaat 2.4: 11, 15, 16, 20,
21, 23, 24.
- Vrijdag 23 februari
Hoorcollege: Polynoomringen, hoofdideaalringen, irreducibele elementen, uniek ontbindingsdomein.
Diktaat: 3.1, 3.2, 3.3
Werkcollege:
Diktaat: 3.5: 1, 2, 5, 3 (Hint: noem de som aan de rechterzijde
g en toon aan dat f en g in de n+1 punten αi dezelfde waarden
aannemen.), 4, 7, 10, 6
(Een nilpotent element
r in een ring is een element waarbij een positief gehele k bestaat zo dat
rk=0).
Huiswerkopgave voor komende week: 2.4.14 (Ipv (c): Bewijs dat de verzameling
eenheden gegeven is door a+bε met a ongelijk 0) en 2.4.18 (je kunt het resultaat van (c)
informeel lezen als "R/J isomorf met (R/I)/(J/I)") (inleveren voor 2 maart, 11 uur)
- Woensdag 28 februari
Hoorcollege:
Ontbinding van polynomen, uniek ontbindingsdomein, Lemma van Gauss, ontbinding in Z[X].
Dictaat: paragraaf 4.1, 4.2, 4.3.
Werkcollege:
Opgaven: 4.6.1, 4.6.3,
4.6.4, 4.6.11 (alleen de vierde niet, hint bij de tweede: in Z/pZ geldt (a+b)p
=ap+bp), 4.6.15, 4.6.2
(Uitwerking).
- Vrijdag 2 maart
Hoorcollege: Unieke ontbindingsdomeinen, ontbinding in Z[X], criterium van Eisenstein.
Begin maximale idealen en priemidealen.
Dictaat: 4.4, 4.5, 5.1, 5.2.
Werkcollege: Het Eisenstein criterium geldt niet alleen in Z[X] en een priem p, maar ook in een
ring R[X] met R ontbindingsdomein en een
irreducibel element π (zie Def 4.5.1 en Stelling 4.5.2). Dit kun je toepassen op Q[X,Y],
gezien als polynoomring in Y en coefficienten in Q[X].
Opgaven: 4.6.7, 4.6.8, 4.6.9, 4.6.13, 4.6.14, 5.5.1, 5.5.3,
5.5.5 (alleen met priemidealen), 5.5.6 (alleen met priemidealen), 5.5.9.
GEEN Huiswerkopgave deze keer
-
Woensdag 7 maart
Hoorcollege: Maximale idealen en priemidealen/maximale idealen afmaken
Lichaamsuitbreidingen, Diktaat: 5.2, 5.3, 6.1, 6.2.
Werkcollege: Opgaven 5.5.5 en 5.5.6 voor maximale idealen,
5.5.10, 5.5.14, 5.5.15, 5.5.16, 5.5.25
- Vrijdag 9 maart
Hoorcollege: Lichaamsuitbreidingen vervolg (dictaat 6.2, 6.3).
Werkcollege: Diktaat 6.6.4, 6.6.5, 6.6.6, 6.6.7, 6.6.12, 6.6.13, 6.6.15, 6.6.18.
Huiswerk voor komende week:
Eisenstein, priemidealen
(inleveren voor vrijdag 16 maart, 11:00).
- Woensdag 14 maart
Hoorcollege: Afmaken Hoofdstuk 6.4, 6.5. Constructies met passer en liniaal,
Hoofdstuk 7.
Werkcollege: Diktaat 6.6.9, 6.6.10, 6.6.14, 6.6.16, 7.2.1, 6.6.21
-
Vrijdag 16 maart
Hoorcollege: Splijtlichaam, Galois groep, Diktaat 8.1,8.2.
Werkcollege: 7.2.2, 7.2.3, 9.5.13, 8.4.1, 8.4.2, 8.4.4, 6.6.22, 6.6.23
-
Woensdag 21 maart
Hoorcollege: Galois uitbreidingen, Galoiscorrespondentie, Diktaat 8.3, 9.1, 9.2
Werkcollege: Opgave 1.3 van Extra opgaven,
8.4.5, 8.4.6, 8.4.7, 9.5.14.
- Vrijdag 23 maart
Hoorcollege: Hoofdstelling Galoistheorie, voorbeelden,
diktaat 9.2,9.3,9.4.
Werkcollege: 9.5.1, 9.5.2, 9.5.6.
Huiswerk voor komende week: Galoisgroepen
(inleveren voor of op woensdag 4 april).
- Woensdag 28 maart
Hoorcollege: Radicale uitbreidingen, oplosbare uitbreidingen, de vijfde graads
vergelijking, Diktaat 10.3, 10.4.
Werkcollege: 9.5.4, 9.5.10, 9.5.15.
- Vrijdag 30 maart
GEEN COLLEGE/WERKCOLLEGE (goede vrijdag)
- Woensdag 4 april
Hoorcollege: Uitwerking geselecteerde opgaven
Werkcollege: Afmaken opgaven vorige keren.
- Vrijdag 6 april
Vragenuur tijdens werkcollegetijd, GEEN hoorcollege.
- Woensdag 11 april
TENTAMEN 11 april, Theatron 13:30 - 16:30 .
Tentamenstof: Hoofdstukken 1 t/m 10 van het diktaat, behalve 1.4, 1.6, 5.3, 5.4, 10.1, 10.2. Ook word je
geacht de opgaven van het werkcollege te kunnen maken.
In het
Tentamenarchief van het mathematisch instituut en het
Aes-kwadraat archief vind je een grote voorraad oude tentamens.
- TOEGEVOEGD op 19 april: Uitwerkingen tentamen.