WISB 212: Analyse in Meer Variabelen
05-02-2008
Theorie
We beginnen met een korte herhaling van de theorie van differentieerbaarheid van een vectorwaardige functie van meer variabelen; deze is al behandeld in de cursus Functies en Reeksen.
p.37, 38 en 39: Section 2.1.
p.40: Lemma 2.1.1.
p.42: Sectie 2.2.
p.47: Definition 2.3.1
p.48: Remark on notation, tot aan ''A problem with Jacobi's notation ...''.
p.51: Theorem 2.4.1, zonder het bewijs.
p.52: Corollary 2.4.2.
p.54 en 55: Example 2.4.8 en 2.4.9.
p.59: Definition 2.6.2.
Vraagstukken
2.7. Vergelijk f(x+h) met f(x), zoals in de definitie van differentieerbaarheid. Schrijf hierbij de formules niet klakkeloos uit, maar concentreer op de termen die lineair in h zijn.
2.22. Regelrecht de definities en de kettingregel toepassen.
2.30. Directe toepassing van de kettingregel en de bekende formule voor de afgeleide van de normfunctie. De gegeven functie f is de potentiaal van het Newtonvectorveld, dat welbekend is uit de mechanica.
2.31. In (ii) betekent g' de afgeleide. In (iii) betekent (Df)t de getransponeerde van de matrix Df, en die werkt dan op de vector grad g.
2.39. Toepassing van de kettingregel om te laten zien dat Laplace-operator invariant is onder draaiingen.
Inlevervraagstuk
2.31.
12-02-2008
Theorie
Theorem 1.6.5 over volledigheid van Rn.
Section 1.7 over contracties tot Example 1.7.3.
Section 2.5 over Middelwaardestelling tot Example 2.5.4.
Definition 2.7.8 van Ck functie.
Section 3.1 over diffeomorfismen.
Section 3.2 over Inverse-functiestellingen. Op college zijn we tot en met de formulering van Proposition 3.2.3 gekomen en opmerkingen over de structuur van het bewijs ervan. Deze dienden primair als motivatie voor de behandeling van het Contactielemma en de Middelwaardestelling. Volgende keer zal het formele bewijs worden behandeld en zal ook verder worden ingegaan op de relevantie van de Inverse-functiestellingen.
Vraagstukken
2.25. Men kan bewijzen dat uit de gegevens volgt dat er een definitie van f(a) mogelijk is zó, dat f continu op U is. Dit bewijs is ietwat sophisticated, en daarom mag men dit feit aannemen. De differentieerbaarheid van f in a volgt dan met de Middelwaardestelling.
3.2. Klaarblijkelijk is een open vierkant C∞ diffeomorf met een open driehoek.
3.8.(i) - (iv). Dit is een buitengewoon nuttig vraagstuk dat allerlei duistere rekenpartijen die men bij andere colleges nog wel eens aantreft, verheldert.
3.11. Standaard toepassing van de Globale Inverse-functiestelling; hierbij heeft men alleen de formulering van de stelling nodig. Dit is een oud tentamenvraagstuk.
Inlevervraagstuk
3.8.(i) - (iv).
19-02-2008
Theorie
Inverse- en Impliciete-functiestellingen: Secties 3.2 - 3.6 tot aan Application C.
Vraagstukken
3.18.(i), (ii) en (iv) (onder aanname van de waarheid van (iii)), 3.31, 3.36.
Inlevervraagstuk
3.31.
Opmerkingen
Zie hier voor uitwerkingen van sommige vraagstukken die eerder zijn opgegeven.
Het Mathematica notebook bevat aanvullende informatie, en in het bijzonder, routines om veel voorkomende berekeningen per computer uit te voeren.
26-02-2008
Theorie
Implicit Function Theorem en Manifolds: Sections 3.5, 3.6 en 4.1 en Definition 4.2.1
Vraagstukken
3.41 (men mag hierbij Exercise 2.21 zonder bewijs gebruiken), 3.45, 4.2.
Inlevervraagstuk
3.45.
04-03-2008
Theorie
Chapter 4: Manifolds and Immersion Theorem. Sections 4.2 - 4.4.
Vraagstukken
4.4, 4.5, 4.6.(i)-(iv), 4.11.
Inlevervraagstuk
4.6.
Opmerkingen
p>Het Mathematica notebook bevat aanvullende informatie, en in het bijzonder, illustraties en uitwerkingen (van gedeelten) van de hierboven opgegeven vraagstukken. Gebruik die informatie! Run alleen de relevante stukken uit dit notebook. Op een snelle PC neemt het gehele notebook ongeveer een uur. Verder wordt nog gewezen op de uitwerkingen die hier zijn te vinden.11-03-2008
Theorie
Chapter 4: Submersion Theorem. Sections 4.5 en 4.6.
Vraagstukken
4.12, 4.14.(i), (ii), 4.28.
Inlevervraagstuk
4.28.
18-03-2008
Opmerkingen
Deze week is Herkansingsweek 2, bijgevolg is er geen college en geen practicum.
25-03-2008
Theorie
Chapter 4: Equivalent definitions of manifold en Tangent spaces. Sections 4.7, Section 5.1 tot Proposition 5.1.3, Section 5.3 tot aan Example 5.3.7.
Vraagstukken
5.1, 5.2, 5.10, 5.18.
Aanwijzing bij 5.2. Schrijf φ2(x) =
p en bewijs p12/a2 + p22/b2 = sinh2 x1.
Concludeer p12/a2 + p22/b2
− p32/c2 =
−1.
Inlevervraagstuk
5.18.
Opmerkingen
Het Mathematica notebook bevat aanvullende informatie, en in het bijzonder, illustraties en uitwerkingen (van gedeelten) van de hierboven opgegeven vraagstukken. Uitwerkingen van theoretische vraagstukken zijn hier te vinden.
01-04-2008
Theorie
Chapter 5: Examples of tangent spaces en Lagrange multipliers. Rest van Section 5.3 en Sectie 5.4.
Vraagstukken
5.6, 5.35.(i) - (iii), 5.39.(i) - (iii).
Inlevervraagstuk
5.39.(i) - (iii).
Tijd en Plaats van Tentamen
Zie hier voor de tijd en plaats van het eerste deeltentamen.
08-04-2008
Theorie
Er wordt geen nieuwe theorie behandeld, wel worden vragen beantwoord en vraagstukken voorgemaakt.
Vraagstukken
Geen nieuwe vraagstukken, wel kan men werken aan oude vraagstukken en vragen stellen over de stof.
15-04-2008
Opmerkingen
Deze week is Tentamenweek 3, bijgevolg is er geen college en geen practicum.
22-04-2008
Theorie
We beginnen met een korte beschouwing van de theorie van integreerbaarheidvan een scalaire functie van meer variabelen. Daarna komt meervoudige integratie en de relatie tot herhaalde integratie alsmede verwisselbaarheid van de volgorde van integratie. Tenslotte maken we een begin met de Stelling over substitutie van variabelen in meervoudige integralen. Voor een deel is deze theorie, weliswaar niet zo diepgravend, al behandeld bij de cursussen Infinitesimaalrekening en Inleiding Analyse. Daarom gaan we er nu in vogelvlucht doorheen, met nadruk op nieuwe aspecten.
De theorie van Riemannintegreerbaarheid van een scalaire functie van meer variabelen verloopt geheel parallel aan die van een functie van een variabele, zoals behandeld in Inleiding Analyse. Dit is de inhoud van Sections 6.1 en 6.2 tot aan Definition 6.2.6.
Bestudeer Definitions 6.2.6 en 6.2.7 en Theorem 6.2.8.
Section 6.3 is gewijd aan het probleem dat sommige deelverzamelingen van Rn zo gecompliceerd kunnen zijn dat berekening van hun volume volgens Riemann niet zinvol kan geschieden. Daarom wordt de deelklasse van de Jordanmeetbare verzamelingen ingevoerd. Betere antwoorden worden geleverd door andere integratietheorien, die van Lebesgue en van Kurtzweil-Henstock.
Section 6.4 is gewijd aan de reductie van n-dimensionale integratie tot herhaalde integratie zoals dit is gebeurd bij Infinitesimaalrekening. Het hoofdresultaat is hier Corollary 6.4.3. Merk op dat daarin twee verschillende uitspraken staan. Verder wordt Example 6.4.4 behandeld, als tegenvoorbeeld (zie de file mra.nb voor meer achtergrondinformatie). In serieuze wiskunde is verwisseling van de integratievolgorde heel vaak nodig, maar even zo vaak vraagt deze een zorgvuldig onderzoek of het correct is. Sterkere resultaten volgen uit de theorie van Lebesgue-integratie (zie Proposition 6.12.7 en het daarop volgende commentaar). Zie nog Voorbeeld 2 op p.324 van Marsden and Tromba: Vector Calculus (Fourth Edition) voor een buitengewoon leerzaam voorbeeld.
Herhaalde integratie wordt bekend ondersteld uit Infinitesimaalrekening, maar ter herinnering bekijken we Example 6.5.2 (ook hier bevat mra.nb meer achtergrondinformatie).
Bestudeer Section 6.6 tot en met Example 6.6.4. Substitutie van variabelen in een meervoudige integraal in dimensies 2 en 3 is behandeld bij Infinitesimaalrekening, maar in een notatie die generalisatie naar Rn erg moeizaam maakt.
Vraagstukken
6.6. Regelrechte infi-opgave, om er weer in te komen.
6.15 (Inleveropgave).
6.39.(i) en (iii), waarbij (ii) voor waar mag worden aangenomen. In feite moet onderdeel (i) in omgekeerde volgorde worden gelezen, want de spannende vraag is: bereken de uiteindelijke dubbelintegraal zonder het antwoord te kennen. Onderdeel (iii) haalt dan wat extra mileage uit het resultaat in (i).
Inlevervraagstuk
6.15.
29-04-2008
Theorie
Examples 6.6.5, 6.6.6 en 6.6.7 als toepassingen van de Stelling over substitutie van variabelen.
Section 6.10 over absolute Riemannintegreerbaarheid. De nadruk ligt hierbij op Corollary 6.10.7 en Example 6.10.8.
Als de tijd het toelaat opmerkingen over het derde bewijs, op p.483, van de Stelling over substitutie van variabelen.
Vraagstukken
Geen practicum vanwege Hemelvaartsdag.
06-05-2008
Theorie
Voltooiing van de behandeling van Section 6.10 over absolute Riemannintegreerbaarheid.
Section 7.1 over dichtheden.
Begin van de behandeling van Section 7.3 over de Euclidische d-dimensionale dichtheid.
Vraagstukken
6.14. Regelrechte infi-opgave, om er weer in te komen.
6.20. Let op de analogie met Example 6.6.7. Substitueer vervolgens bolcoördinaten, i.h.b. x3 = r sin θ en dx = r cos θ dr dα dθ. De resulterende integraal in de variabele r wordt berekend met partiële integratie.
6.23. Oud tentamenvraagstuk. Karakteristiek voorbeeld van substitutie van variabelen.
6.43. Dit kan met een minimum aan berekening. Onmisbaar in de statistiek.
Inlevervraagstuk
6.23.
13-05-2008
Theorie
Sections 7.2 tot en met 7.4. Hoofdpunten uit de theorie zijn de volgende. Lees Theorem 7.2.4, die men gemakkelijkheidshalve tevens kan lezen als definitie van de integraal van een functie over een deelvarieteit t.o.v. een dichtheid. Dan het geheel van Section 7.3 onder weglating van de stof van p.496. (Het vorige college is de eerste pagina van Section 7.3 al behandeld.) Kijk vervolgens naar de voorbeelden uit Section 7.4; in ieder geval de formules voor booglengte, oppervlakte en hyperoppervlakte uit het begin van de onderdelen I, II en III, respectievelijk. Reken Example 7.4.6 na en bestudeer Example 7.4.12, want dat is benodigd voor Vraagstuk 7.21.
Vraagstukken
6.49. In de cursus Distributies zal blijken dat deze berekening in feite neerkomt op de bepaling van een fundamentele oplossing voor de Cauchy-Riemannoperator.
6.50.(i), (ii) en (viii). De Gamma- en Betafunctie zijn van groot belang bij de normering van statistische verdelingen, zoals die voorkomen in de stochastiek en de statistische mechanica, en bij formules voor het volume van de n-dimensionale eenheidsbol en de hyperoppervlakte van de (n-1)-dimensionale eenheidssfeer.
6.51.(ii). Differentiatie onder het integraalteken is een belangrijke techniek bij de berekening van (oneigenlijke) integralen.
6.59. Een vernuftige substitutie van variabelen herleidt een tweedimensionale integraal tot een bekende ééndimensionale.
6.60.(i) en (ii). Verwisseling van de integratievolgorde is ook een belangrijke techniek bij de berekening van (oneigenlijke) integralen.
Inlevervraagstuk
6.49.
20-05-2008
Theorie
Theorem 7.5.1 en Lemma 7.5.4.
Section 7.6. Theorem 7.6.1 is het belangrijkste onderwerp in dit college, daarom wordt ook aandacht gegeven aan het bewijs ervan.
Section 7.8., i.h.b. de Divergence Theorem 7.8.5 van Gauss.
Example 7.9.1.
Vraagstukken
7.15 onder weglating van onderdeel (v). Opmerkelijk aan het lichaam van Viviani is dat er zoveel aan valt te rekenen met expliciet berekenbare antwoorden. Dit is een oud tentamenvraagstuk en test je kennis van integratie langs krommen en over oppervlakken.
7.17. Dit vraagstuk behandelt het probleem van het afrollen in een plat vlak van een oppervlak
dat is opgebouwd uit rechte lijnen die door een punt gaan. Het probleem is hoe je de hoek in deze situatie moet definieren,
of in andere woorden, de snelheid waarmee de beschrijvenden liggende in het platte vlak om de oorsprong draaien.
Nu wordt het antwoord in het vraagstuk gegeven; het is natuurlijk spannender om de definitie van hoek zelf trachten te vinden:
deze moet dan zo zijn dat afrollen oppervlakten behoudt. Vraagstuk 7.18 is de werkelijk interessante toepassing, maar dat is niet opgegeven.
(Uiteraard wel aanbevolen, dit resultaat is pas een paar jaar geleden gepubliceerd.)
7.21.(i) en (ii). Een van de snelste wijzen van berekening van de hyperoppervlakte van de (n-1)-dimensionale eenheidssfeer, een andere is middels de Divergentiestelling van Gauss. Inlevervraagstuk
27-05-2008
Theorie
Deze dag is er gelegenheid voor herkansingstentamens, bijgevolg is er geen college.
Vraagstukken
7.19.(i) - (iii). De tractrix T wordt gegeven door T = { (sin s, cos s+log tan s/2) | 0 < s < π }. De pseudo-sfeer ontstaat door wenteling van T\{(1,0)} om de x3-as.
7.53.(i) - (iv) en (vi) - (vii). Middeling over sferen is een belangrijke techniek bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen.
Inlevervraagstuk
7.53.(i) - (iv).
03-06-2008
Theorie
Section 7.9.
Section 8.1. tot aan Example 8.1.11.
Sectie 8.3.
Vraagstukken
7.65. Een toepassing van de eerste Identiteit van Green.
8.3. (Infi-achtige opgave).
8.5.(i)-(iii). Gebruik bij onderdeel (iii) alleen maar de Stelling van Green. Dit is een oud tentamenvraagstuk en ontstaan naar aanleiding van het feit dat studenten bij de cursus Geschiedenis van de wiskunde niet in staat bleken om het resultaat van Archimedes op moderne wijze te bewijzen.
Inlevervraagstuk
8.5.(i)-(iii).
10-06-2008
Theorie
Section 8.4.
Section 8.5.
Vraagstukken
8.7. In de waarde van de integralen in (i) ontbreekt een minteken.
8.10.
Inlevervraagstuk
8.10.
17-06-2008
Er wordt geen nieuwe theorie behandeld, wel worden vragen beantwoord en vraagstukken voorgemaakt.
Vraagstukken
Geen nieuwe vraagstukken, wel kan men werken aan oude vraagstukken en vragen stellen over de stof. Volgende week 26-06 is er geen practicum; in plaats daarvan is er op dezelfde tijd een inloopspreekuur op de kamer van de practicumleider. Verder kan men daar dan het inlevervraagstuk afgeven dat dan 27-06 nagekeken bij de practicumleider opgehaald kan worden.